No puedo averiguar lo que está mal:
Intentaremos mostrar que $\mathcal{P} (\mathbb{N})$ es contable. Utilizamos el siguiente corolario de Rudin los Principios de Análisis Matemático, p. 29:
Supongamos $A$ es en la mayoría de los contables, y, para cada $\alpha\in A$, $B_{\alpha}$ es en la mayoría de los contables. Poner
$$T=\bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha}$$
A continuación, $T$ es en la mayoría de los contables.
La "prueba" 1:
Deje $A = \mathbb{N}$, y para cada $\alpha \in A$ vamos $B_{\alpha}=\{S \in \mathcal{P} (\mathbb{N})| \text{the sum of the elements of } S \text{ is } \alpha \}$. $A$ es contable y para cada $\alpha \in A$, $B_{\alpha}$ es finito. Por lo tanto
$$\bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha}$$
es contable. Pero $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha}=\mathcal{P} (\mathbb{N})$, lo $\mathcal{P} (\mathbb{N})$ es contable.
La "prueba" 2:
Deje $A= \mathbb{N}$, y para cada $\alpha \in A$ deje $B_{\alpha}=\{ S \in \mathcal{P} (\mathbb{N}): |S| = \alpha \}$. Creo que puedo demostrar por inducción (si se solicita) que para cada $\alpha \in A$, $B_{\alpha}$ es contable. Así
$$\bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha}$$
es contable. Pero, de nuevo, $\bigcup_{\alpha \in A}B_{\alpha} = \mathcal{P} (\mathbb{N})$
