¿Es posibles únicamente número rostros de una rejilla hexagonal con números consecutivos?

Question

Tiene una rejilla de hexágonos regulares.

El objetivo del juego es que cada hex contener los números del 1-6 en sus bordes.

Cada borde también debe estar conectado a otro borde que tiene un valor de uno mayor y uno menor que el valor del mismo, con 6 envolviendo a 1. Los otros dos bordes puede ser cualquier número tan larga como la primera regla no está roto.

A continuación, he realizado una pequeña sección de la mano como un ejemplo:

Puede que este patrón se propaguen a un hex de cuadrícula de tamaño infinito y no se repita?

En este ejemplo, empecé con un hex etiquetados 1-6 va en sentido anti-horario desde la parte superior sin embargo, esto no es un requisito.

Answer 1

Mi equipo los gráficos no son hasta cero, así que por favor oso conmigo.

Aquí están 8 hexágonos básicas:

$$A=\matrix{&1&\cr6&&2\cr5&&3\cr&4&\cr};\quad B=\matrix{&4&\cr3&&5\cr2&&6\cr&1&\cr};\quad C=\matrix{&4&\cr5&&3\cr6&&2\cr&1&\cr};\quad D=\matrix{&1&\cr2&&6\cr3&&5\cr&4&\cr}$$

$$E=\matrix{&4&\cr6&&3\cr2&&5\cr&1&\cr};\quad F=\matrix{&1&\cr3&&6\cr5&&2\cr&4&\cr};\quad G=\matrix{&1&\cr5&&2\cr3&&6\cr&4&\cr};\quad H=\matrix{&4&\cr2&&5\cr6&&3\cr&1&\cr}$$

y conseguir reunir en este patrón: $$\matrix{A&&C&&A&&C&\cr&F&&H&&F&&H\cr B&&D&&B&&D&\cr&E&&G&&E&&G\cr A&&C&&A&&C&\cr&F&&H&&F&&H\cr B&&D&&B&&D&\cr&E&&G&&E&&G\cr}$ $

Así, por ejemplo, $E$ comparte una arista 6 $B$ 4 $F$ sobre ella, 3 $D$, 5 $C$, 1 $F$ debajo de él y 2 $A$.

Answer 2

El siguiente es un suplemento a la bonita respuesta de @GerryMyerson. Fue inspirado por el visualmente agradable y estimulante representación de su solución.

Cuando se mira en su solución con la que podemos analizar

• el $8$ hexágonos con respecto a la simetría
• el tesselation con respecto a la relación entre hexágonos y sus vecinos

Empezamos con

Hexágonos: Algunas consideraciones de simetría

Vamos a suponer que un hexágono $A$ es etiquetados de la siguiente manera \begin{align*} A= \begin{matrix} &a&\\ b&&f\\ c&&e\\ &d&\\ \end{de la matriz} \end{align*} Queremos analizar con respecto a ciertas simetrías. Podemos reflejar en un centrada en el eje horizontal o en un centrada en el eje vertical. Vamos a introducir los operadores correspondientes a$T_x$$T_y$. La aplicación de estos operadores, obtenemos \begin{align*} T_xA= \begin{matrix} &d&\\ c&&e\\ b&&f\\ &a&\\ \end{de la matriz}\qquad\qquad T_yA= \begin{matrix} &a&\\ f&&b\\ e&&c\\ &d&\\ \end{de la matriz}\qquad\qquad T_xT_yA= \begin{matrix} &d&\\ e&&c\\ f&&b\\ &a&\\ \end{de la matriz} \end{align*}

Es fácil ver que otras combinaciones de $T_x$ $T_y$ no proporcionan más información:

El siguiente es válido: \begin{align*} T_xT_x=Id,\qquad T_yT_y=Id,\qquad T_xT_y=T_yT_x \end{align*} con $Id$ la identidad del operador $Id(A)=A$

La aplicación de estos operadores \begin{align*} A= \begin{matrix} &1&\\ 6&&2\\ 5&&3\\ &4&\\ \end{de la matriz} \end{align*} obtenemos \begin{align*} T_xA= \begin{matrix} &4&\\ 5&&3\\ 6&&2\\ &1&\\ \end{de la matriz} =C\qquad\qquad T_yA= \begin{matrix} &1&\\ 2&&6\\ 3&&5\\ &4&\\ \end{de la matriz} =D\qquad\qquad T_xT_yA= \begin{matrix} &4&\\ 3&&5\\ 2&&6\\ &1&\\ \end{de la matriz} =B \end{align*} Del mismo modo completar el $8$ hexágonos de @GeryMyersons solución obtenemos \begin{align*} E= \begin{matrix} &4&\\ 6&&3\\ 2&&5\\ &1&\\ \end{de la matriz} \qquad\qquad T_xT_yE= \begin{matrix} &4&\\ 2&&5\\ 6&&3\\ &1&\\ \end{de la matriz} =G\qquad\qquad \end{align*} y \begin{align*} F= \begin{matrix} &1&\\ 3&&6\\ 5&&2\\ &4&\\ \end{de la matriz} \qquad\qquad T_xT_yF= \begin{matrix} &4&\\ 2&&5\\ 6&&3\\ &1&\\ \end{de la matriz} =H\qquad\qquad \end{align*}

Llegamos a la conclusión de:

• Con respecto a la reflexión de los operadores de $T_x$ $T_y$ hay tres base de los elementos de $A,E$ $F$ y todos los otros elementos que pueden ser generados por la aplicación de $T_x$ resp. $T_y$ a ellos.

• $A$ es el generador de cuatro heaxagons, mientras que $E$ $F$ son los generadores de dos hexágonos.

Resumen: Los ocho hexágonos son: \begin{align*} \begin{array}{llll} A,\qquad&B=T_xT_yA,\qquad&C=T_xA,\qquad&D=T_yA;\\ \\ E,\qquad&G=T_xT_yE;\qquad&F,\qquad&H=T_xT_yF\\ \end{array} \end{align*}

Vamos a proceder ahora con:

Tesselation: Analizar los vecinos de un hexágono

Vamos a empezar con el tesselation proporcionada por @GerryMyerson y vamos a poner el foco en el hexágono $E$ y sus vecinos.

\begin{align*} \begin{matrix} A\quad&&C\quad&&A\quad&&C\\ &\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&H\quad&&\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&H\\ \color{blue}{\mathbf{B}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{D}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{B}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{D}}\\ &\mathbf{E}\quad&&G\quad&&\mathbf{E}\quad&&G\\ \color{blue}{\mathbf{A}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{C}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{A}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{C}}\\ &\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&H\quad&&\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&H\\ B\quad&&D\quad&&B\quad&&D\\ &E\quad&&G\quad&&E\quad&&G\\ \end{de la matriz} \end{align*}

El central del hexágono $E$ y sus alrededores hexágonos están escritos en negrita, los alrededores también en color ${\color{blue}{\mathbb{\text{blue}}}}$. Observar, que los hexágonos $G$ $H$ son no vecinos de $E$. Ahora escribiremos el mismo patrón de uso de la reflexión de los operadores de $T_x$ $T_y$ y compruebe si podemos ver algún tipo de relación.

\begin{align*} \begin{matrix} A\quad&&T_xA\quad&&A\quad&&T_xA\\ &\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&T_xT_yF\quad&&\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&T_xT_yF\\ \color{blue}{\mathbf{T_xT_yA}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{T_yA}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{T_xT_yA}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{T_yA}}\\ &\mathbf{E}\quad&&T_xT_yE\quad&&\mathbf{E}\quad&&T_xT_yE\\ \color{blue}{\mathbf{A}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{T_xA}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{A}}\quad&&\color{blue}{\mathbf{T_xA}}\\ &\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&T_xT_yF\quad&&\color{blue}{\mathbf{F}}\quad&&T_xT_yF\\ T_xT_yA\quad&&T_yA\quad&&T_xT_yA\quad&&T_yA\\ &E\quad&&T_xT_yE\quad&&E\quad&&T_xT_yE\\ \end{de la matriz} \end{align*}

Así que, ¿qué vemos?

• El central del hexágono $E$ está rodeado por los cuatro hexágonos $A,T_xA,T_yA$ $T_xT_yA$ generado por $A$.
• $E$ está conectado a otro elemento de base $F$ dos veces
• $E$ es no conectado al elemento $G=T_xT_yE$, por lo que no está conectado a cualquier elemento generado por $E$ sí.

Más preguntas que podrían ser de interés:

• Poner los otros hexágonos como centro. ¿Cuál es la estructura de los alrededores de los hexágonos con respecto a la reflexión de los operadores?

• Hacer todos los posibles tesselations necesitan tres elementos de base como $A,E$ $F$ como se usa dentro de esta solución?

• Es la partición de los elementos generados por la base de los elementos siempre se $(4,2,2)$?

• Formulado de otra manera: ¿se Puede fácilmente generar nuevas soluciones mediante la adopción de un centro de $\widetilde{A}$ y buscar cuatro vecinos de los alrededores $\widetilde{B},T_x\widetilde{B},T_y\widetilde{B}$ $T_xT_y\widetilde{B}$ y añadir otro hexágono $\widetilde{C}$?

• Es razonable introducir operadores adicionales además de la $T_x$ $T_y$ con el fin de reducir el número de base de hexágonos?

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Nota: OPs tessalation que es de acuerdo a un comentario de @RowanAshwin no ampliable ad infinitum tiene el hexágono central \begin{align*} \begin{matrix} &1&\\ 2&&6\\ 3&&5\\ &4&\\ \end{de la matriz} \end{align*}

Los seis rodea hexágonos tienen la parte superior/inferior de los bordes marcados con $$(2,6), (3,5), (4,2), (4,3), (5,1) \text{ and }(6,1).$$ Since the operator $T_x$ exchange top with bottom and $T_y$ les deja sin cambios observamos que todos los seis de los alrededores hexágonos y el central son independientes de la base de elementos.

Tal vez esta falta de simetría es la razón por la que el tessalation no se puede expandir a todo el avión.

Answer 3

Esto no es tanto un problema geométrico sobre una rejilla hexagonal, esto es de mucha topológico problema, especialmente la teoría de grafos problema, que afecta a un (infinito) grafo, donde los nodos son los vértices de la malla hexagonal y los bordes los bordes.

El problema que presente me recuerda mucho a borde de la coloración (http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring), excepto mientras que los colores no tienen ningún orden determinado o estructura, sus "colores" (es decir, números) vienen de Z_6 ( es decir, los enteros modulo 6 , es decir, el cociente grupo Z/6Z , es decir,{0, 1, 2, 3, 4, 5} con 5+1=0 ), y se añaden las restricciones de la "coloración" con base en esta estructura de grupo.

De hecho, el problema no está aún restringido a tesselations en el plano. Puede ser extraída para todos "generalizadas poliedros", que también incluye "embaldosados de los polígonos" como Euclidiana poliedros y hiperbólico tesselations. Por ejemplo, usted podría también hacer la misma pregunta sobre el mosaico de triángulos en un icosaedro, o un mosaico de pentágonos, donde 4 de los pentágonos cumplir en cada vértice, aunque una regularidad de mosaico que es imposible en el plano Euclidiano. (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes#Hyperbolic_tilings)

Tal vez este es el camino para acercarse a ella, mirando tesselations de esta manera, y comenzando en el caso más simple y trabajar en cómo expandir en los más complejos.

De todos modos, es más que sólo mis pensamientos iniciales. :)