Demostrando que el número $\sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}$ es racional

Question

He estado tratando de demostrar que el número $\sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}$ es racional. Me gustaría reestructurar para probarlo, pero no encuentro nada además de $\sqrt{50} =5 \sqrt{2}$. ¿Alguien me podría dar algunos consejos? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

En primer lugar, permítanos cubo el número a la mano:

$$\begin{align*} x^3 &=7+\sqrt{50}+7-5\sqrt{2}+3(7+\sqrt{50})^\frac{2}{3}(7-5\sqrt{2})^\frac{1}{3}+3(7+\sqrt{50})^\frac{1}{3}(7-5\sqrt{2})^\frac{2}{3}\\ &=14+3((49-50)(7+\sqrt{50}))^\frac{1}{3}+3((49-50)(7-5\sqrt{2}))^\frac{1}{3}\\ &=14-3x \end{align*} $$

Entonces, $x^3=14-3x \implies x^3+3x-14=0$.

La única solución de esta ecuación es $x=2$, que es un número racional.

QED.

Answer 2

Esto debe ser una manera fácil (convertir mi comentario en una respuesta):

Desde $$7±5\sqrt 2=1±3\sqrt2 +6±2\sqrt 2=(1±\sqrt 2)^3,$ $ tenemos $$\sqrt[3]{7+5\sqrt 2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt 2}=(1+\sqrt 2)+(1-\sqrt 2)=2.$ $

Answer 3

Que $(a+b\sqrt{2})^3=7+5\sqrt{2}$, entonces el $(a-b\sqrt{2})^3=7-5\sqrt{2}$. Esto nos da\begin{align} a^3+6ab^2 & = 7\\ 2b^3+3a^2b & = 5 \end {Alinee el} de las dos ecuaciones mencionadas obtenemos. $$\frac{a(a^2+6b^2)}{b(2b^2+3a^2)}=\frac{7}{5}.$ $ Ahora deja $x=\frac{a}{b}$. Entonces $$5x(x^2+6)=7(3x^2+2).$ $ finalmente obtenemos $ $$5x^3-21x^2+30x-14=0$de % que $x=1$ es una solución obvia de esta ecuación. Por lo que podemos reescribir esto como: $$(x-1)(5x^2-16x+14)=0.$ $ el factor cuadrático tiene sólo no bienes raíces. Así $x=1$ es la única solución real. Esto da $a=b=1$. Así la expresión dada es igual a $2$.

Answer 4

utilizar esta conocida identidad $$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ $, por lo que sea $$x=\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}$ $ entonces tenemos $$x^3=14+3\sqrt[3]{49-50}\cdot x=-3x+14$ $ así $$x=2$ $