Desigualdad trigonometric

Question

Tengo esta desigualdad: $$2\cos^2x+\cos x-1\geq0$$ Si puedo reemplazar $cosx$$u$, la desigualdad se convierte en:$$2u^2+u-1\geq0$$ The solutions of $$2u^2+u-1=0$$ are $-1$ and $\frac{1}{2}$. When I draw the graph of this function, I can see where it's greater than $0$, that's in the intervals $(-\infty,-1] \copa [\frac{1}{2},+\infty)$. I don't know how to use this information and apply it to $\cos x$ because my results are messed up. (Solution: $x\in[-\frac{\pi}{3}+2n\pi, \frac{\pi}{3}+2n\pi] \cup (\pi+2n\pi), n\in \Bbb Z$)

Editar: La solución es sólo para seguir encontrando $cosx$ en estos intervalos, y encontrar las soluciones en un círculo unitario, lo que da un intervalo de $x\in[-\frac{\pi}{3}+2n\pi, \frac{\pi}{3}+2n\pi], n\in \Bbb Z$, y en un punto, porque el coseno se limita a $-1$, por lo que incluimos $\pi$, y se multiplica ($+2n\pi$).

Answer 1

Indirecta: otra posibilidad es escribir el lado izquierdo como $$ 2\cos ^ 2 (x) + \cos (x) -1 = 2 (\cos (x) + \tfrac14) ^ 2-\tfrac98 $$

Answer 2

La solución es seguir encontrando $cosx$ en estos intervalos, y encontrar las soluciones en un círculo de unidad, que da un intervalo de $x\in[-\frac{\pi}{3}+2n\pi, \frac{\pi}{3}+2n\pi], n\in \Bbb Z$ y un punto, porque el coseno se limita a $-1$, por lo tanto que incluimos $\pi$ y de él se multiplica ($+2n\pi$).