Creo que tu confusión es, en primer lugar, sobre el lenguaje -por lo tanto, el ser no es un hablante nativo de inglés, tal vez no soy el mejor calificado para ayudarte a diferentes niveles de abstracción que se va a mezclar. En segundo lugar, tal vez te falta el conocimiento de ejemplos de categorías en las que los morfismos no mapa nada en absoluto.
Para empezar, tal vez yo podría decir que el significado de su "mapa" en "Morfismos los objetos del mapa" no es el mismo que en "functors mapa ambos objetos y morfismos". O no debería ser. O usted debe deffinitively evitar que en la primera frase.
En la segunda frase, la vas a usar de forma correcta en la categoría de lenguaje (categórica nivel de abstracción), que significa "enviar". Pero este mismo uso que en el primero no es correcto, porque, en la categoría de lenguaje (categórica nivel de abstracción) morfismos no "mapa" (enviar) nada de nada (no necesariamente, o no del todo).
Fuera de la categoría de teoría, decimos que (correctamente) "$f(x,y) = x$ mapas de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$", cuando estamos haciendo el Análisis, por ejemplo. Esto es perfectamente legítimo el uso del verbo "en el mapa".
Pero, pensando de la misma $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ como morfismos -por ejemplo, en la categoría de espacios topológicos y continua de los mapas - lo vemos simplemente como una "flecha" entre los dos "objetos" $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}$ - y usted se olvida de que "envía" vectores $(x,y)$ a su primera coordenada $x$. Más correctamente, hemos definido lo que el conjunto de continuo morfismos $\mathbf{Top} (\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ es y nos dicen que $f$ es un miembro de este conjunto. Que se detenga por completo: no necesitamos nada más de la categoría de punto de vista (categórica nivel de abstracción).
Así que, en general, se debe evitar el pensamiento de que morfismos en una categoría mapa de la nada, en el sentido de que "enviar" algo sobre / en algo más. Usted debe evitar este uso / significado del verbo "mapa" hablando de morfismos en una categoría porque no es verdadera, correcta, en general.
En su lugar, en la categoría de lenguaje (categórica nivel de abstracción) functors ¿realmente el mapa (enviar) los objetos a los objetos y mapas de mapas. De hecho, por definición, un functor está compuesto por dos "funciones": uno que asigna a los objetos a los objetos, y uno que asigna asigna a los mapas.
Un ejemplo de que los dos usos de "mapa" coexistir. El grupo fundamental de la functor $\pi_1$, mapas (envía) espacios topológicos para grupos y continua de los mapas para el grupo de homomorphisms:
$$
\pi_1 : \mathbf{Top} \longrightarrow \mathbf{Grupos}
$$
Por ejemplo, $\pi_1$ "envía" la unidad de la circunferencia de la $S^1$ para el grupo de los números enteros $\pi_1 (S^1) = \mathbb{Z}$ y el mapa continuo que va alrededor de la circunferencia dos veces $\gamma : S^1 \longrightarrow S^1$, para el grupo de homomorphisms $\gamma_ *= \pi_1 (\gamma ) : \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}$ que es la multiplicación por $2$: $\gamma_* (m) = 2m$.
Pero también hemos de decir, y es cierto, por supuesto, que $\gamma$ mapas de $S^1$ a $S^1$. Y también es cierto que $\pi_1$ mapas de $S^1$ $\mathbb{Z}$(e $\gamma $$\gamma_*$). Pero ambos son ( $\gamma$ $\pi_1$ ) diferentes tipos de "mapas", que corresponden a diferentes niveles de abstracción matemática.
Por otra parte, en este ejemplo con $\gamma$$\pi_1$, se puede insistir: "Pero, de todos modos, ambos son los mapas, no no? Tanto el mapa, ¿no?".
Un ejemplo donde no. Sí, pero son un montón de ejemplos, hablando de categorías, donde morfismos de una categoría en particular no mapa / enviar nada en absoluto.
Por ejemplo, usted puede pensar de $\mathbb{Z}$ como una categoría, con objetos de los números enteros y morfismos define de esta manera: se dice que el conjunto de morfismos entre dos (diferentes) de los números enteros, $m$ $n$ está vacío si y sólo si $m > n$; de lo contrario, es decir si $m < n$, podemos decir que es el conjunto de morfismos de $m$ $n$tiene exactamente una de morfismos $m \longrightarrow n$. (Y al $m=n$, también hemos apenas uno de morfismos, la identidad de $m$).
"Oh, pero que es esto de morfismos, al $m<n$?, cuál es su fórmula?, ¿qué mapa?", usted podría pedir. Bueno, lo siento, pero, a partir de una categórica punto de vista, no necesito decirle: no importa. Mi "categoría" $\mathbb{Z}$ está perfectamente definido tal y como es. (Usted podría tratar de ser muy cuidadoso en este punto y me pregunta por ¿cómo composición de morfismos de trabajo en esta $\mathbb{Z}$ categoría, pero, yo no necesito decir nada más porque no es sólo uno de morfismos para cada par $m<n$, por lo que la composición de obras de la única forma posible.)
Y una última palabra: usted no debe pensar que este "fenómeno" (morfismos no mapa / enviar ) es inusual en el reino de las categorías
