parte fraccionaria de Riemann zeta $\sum_{s=2}^\infty \{\zeta (s)\}=1$

Question

$$\sum_{s=2}^\infty \{\zeta (s)\}=1$ $ $\zeta (s)$ Dónde está zeta de Riemann, $\{x\}$ denota la parte fraccionaria del número real $x$

El problema fue propuesto por Michael Th. Rassias

$\{\zeta(2)\}=\frac{\pi^2}6-1,$ ¿Cómo llegar?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Desde $ 1 < \zeta(s) <2$ $s \ge 2$, es equivalente a indicar que $ \displaystyle\sum_{s=2}^{\infty} \left( \zeta(s)-1 \right)= 1$.

En cuyo caso,

$$ \sum_{s=2}^{\infty} \left( \zeta(s)-1 \right)= \sum_{s=2}^{\infty}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$$

$$ = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\frac{1}{n^{2}}}{1-\frac{1}{n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$$

$$=\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) $$

$$ = \lim_{N \to \infty} \left(1- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} -\frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N} \right)$$

$$ = 1- \lim_{N \to \infty}\frac{1}{N} = 1$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\zeta(s)=1+2^{-s}+3^{-s}+\cdots$.

La parte fraccionaria de $\zeta(s)$ $s\geq 2$, Dónde está $\zeta(s)-1$.

Así, tenemos que considerar la siguiente suma:

$$ \zeta 2-1 = 2 ^ {-2} 3 ^ {-2} + \cdots $$ $ $ \zeta 3-1 = 2 ^ {-3} 3 ^ {-3} + \cdots $$

Añadir a continuación los números verticalmente.

Answer 3

Aquí es cómo usted probarlo. $$ s_n = \sum_{k=2}^{n}\left\{ \zeta(s)\right\} = \sum_{k=2}^{n} (\zeta(s) - \lfloor \zeta(s)\rfloor ) = \sum_{k=2}^{n} (\zeta(s) - 1 ) $$

$$ \implies \lim_{n\to \infty}s_n = 1. $$

Notas:

1)

$$\left\{ x\right\} = x - \lfloor x\rfloor, $$

donde $\lfloor x\rfloor$ es la función del piso.

2)

$$ \lfloor \zeta(s)\rfloor =1,\quad \forall s\geq 2. $$

3) $$ \sum_{k=2}^{\infty} (\zeta(s) - 1 ) =1. $ $.

Answer 4

Sugerencia: Nota $\{\zeta(s)\} = \zeta(s) - \lfloor \zeta(s) \rfloor$. Por la definición de la función zeta, $\zeta(s) > 1$ % todos $s\ge 2$. ¿Qué esto decirte acerca de $\lfloor \zeta(s) \rfloor$? Una vez haya encontrado orientarte con respecto a la planta de $\zeta(s)$, ¿cómo evaluar la suma restante? Uso, una vez más, la definición de la función zeta.