En esta pregunta, La de Chaz le pregunta si $G\times G\cong H\times H$ implica que el $G\cong H$ donde $G$ $H$ son finitos abelian grupos. La respuesta a su pregunta es sí, por la estructura teorema para finitos abelian grupos, como se señaló en la respuesta por Anjan Gupta.
A pesar de que yo no sabe la primera cosa sobre las categorías, a excepción de las cosas que yo sé-no te estoy preguntando si y cómo este tipo de propiedad que pueda ser expresado y demostrado en términos de propiedades universales, sin manoevring en el interior de los objetos. Por ejemplo, uno puede intentar crear un morfismos $G\to H$ de alguna manera, apelando a la característica universal de $\oplus$, y posteriormente mostrar este morfismos es un isomorfismo persiguiendo diagramas. Pero parece probable que la existencia de una estructura teorema de algún tipo será necesario.
Esta pregunta puede ser considerado trivial o raro para alguien que habla con las categorías, no sé. Este tema contiene bastantes referencias. Realmente no he trabajado a través de cualquiera de ellos (todavía), pero no pude encontrar nada útil a primera vista.
-- edit, de Manera más precisa el título hubiera sido "¿Bajo qué condiciones puede ser expresado en una forma universal no $G\oplus G\cong H\oplus H$ implican $G\cong H$ ?" pero no me gustan los títulos largos.
-- edit2, Por el comentario de por Alexei Averchenko, tal vez sea más natural a esta pregunta con el producto en lugar de la subproducto. Una respuesta a mi pregunta con la 'real' producto se agradece demasiado, obviamente.
