¿Por qué el término de error en el Teorema de Taylor converge a cero (en dos sentidos)?

Question

Consideremos el Teorema de Taylor en el caso de una variable real. Para simplificar, asumamos que $f$ es infinitamente diferenciable alrededor de $a$. Entonces tenemos que

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k$$

Mi pregunta es ¿por qué el término del resto converge a $0$? En particular, ¿por qué tenemos que

$$ \lim_{x \to a} h_k(x) = 0$$

así como también que

$$ \lim_{k \to\infty} h_k(x) = 0?$$

Si entendiese esta última afirmación, en particular, entonces entendería por qué

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$$

lo cual también ha sido una fuente de confusión para mí.

Answer 1

Hay dos preguntas aquí. En primer lugar, usted pregunta por qué $h_k(x) \to 0$ cuando $x \to a$.

Creo que la manera más fácil de ver esto es usar la regla de l'Hôpital. Así que considere $$ \frac{f(x) - (f(a) + f'(a) (x-a) + \cdots + f^k(a) (x-a)^k / k!)}{(x-a)^k} = h_k(x).$$ Vamos a evaluar el lado izquierdo a medida que $x \to a$, y al hacerlo evaluamos el límite $\lim_{x \to a} h_k(x)$.

Claramente el lado izquierdo parece $0/0$, y al diferenciar una vez da otro límite en la forma indeterminada $0/0$. Pero después de aplicar la regla de l'Hôpital $k$ veces, el lado izquierdo se convierte en $$ \lim_{x \to a} \frac{f^k(x) - f^k(a)}{k!} = 0.$$ Esto responde a su primera pregunta.

Su segunda pregunta es por qué $h_k(x) \to 0$ cuando $k \to \infty$. Y la respuesta corta es que esto no siempre es cierto, incluso si $f$ es infinitamente diferenciable. A veces es cierto, pero a veces no lo es. Las funciones para las cuales esto es verdad para cada $a$ se llaman analíticas y son muy especiales --- en muchos sentidos, son las funciones más agradables.

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Como nota adicional, señalaría que escribí una nota para mis estudiantes hace algunos años en un intento de dar una mirada un poco mejor a lo que realmente son las series de Taylor y polinomios. En ella, discuto el concepto de los términos de error de formas que algunos de mis estudiantes han encontrado muy útiles.

Answer 2

Aquí presentamos un enfoque directo para demostrar que la forma de Peano del residuo, $h_k(x)$, tiende a cero cuando $x\to a$. Para ello, procedemos.

Sea $f(x)$ $k$ veces continuamente diferenciable y sea $h_k(x)$ definido como

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{h_k(x)=\frac{f(x)-\sum_{j=0}^k \frac{f^{(j)(a)}}{j!}(x-a)^j}{x^k}}$$

Entonces, aplicando sucesivamente la Regla de L'Hospital $k$ veces revela

$$\begin{align} \lim_{x\to a}h_k(x)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-\sum_{j=0}^k \frac{f^{(j)(a)}}{j!}(x-a)^j}{x^k}\\\\ &=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-\sum_{j=1}^k \frac{f^{(j)(a)}}{(j-1)!}(x-a)^{j-1}}{x^k}\\\\ \vdots\\\\ &=\lim_{x\to a}(f^{k}(x)-f^{k}(a))\\\\ &=0 \end{align}$$

Por lo tanto, encontramos que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{f(x)=\sum_{j=0}^k \frac{f^{j}(a)}{j!}(x-a)^j+h_k(x)(x-a)^k}$$

donde $\lim_{x\to a}h_k(x)=0$.

Answer 3

¿Entiendes que esto no siempre es cierto? ¡Existen funciones infinitamente diferenciables tal que la serie de Taylor existe y converge para todo x pero no a la función original!

$f(x)= e^{-\frac{1}{x^2}}$ si x no es 0, f(0)= 0, es tal función. No es difícil demostrar que cada derivada es $e^{-\frac{1}{x^2}}$ veces un polinomio en x, por lo tanto cada derivada tiene valor 0 en x=0. Es decir, la serie de Taylor, evaluada en 0, es idénticamente 0 pero la función claramente no siempre es 0.