Gretings.
Tratando de la "difícil solución" para el rompecabezas (que ha sido discutidos, con un ángulo diferente, en otro lugar de este foro) Llegué a un punto donde tengo tres aparentemente soluciones válidas, y dos no coinciden. He comprobado el procedimiento varias veces, tanto con la mano y con la Maxima, y parece correcta, pero obviamente estoy perdiendo algo.No puedo resolver esto, tal vez alguien aquí puede. (Lo siento por el ASCII de matemáticas, yo no soy MathJax habilitado)
La historia y el rompecabezas:
Un colega se acercó un día John Von Neumann con un rompecabezas que había dos caminos para una solución, un laborioso, complicado de cálculo y un elegante, ¡Ajá!-tipo de solución. Este compañero tenía una teoría: en un caso, los matemáticos trabajan a cabo la laboriosa tarea de solución, mientras que el (lazier, pero más inteligente) físicos pausa y encontrar el rápido y fácil solución. Que solución von Neumann encontrar? Usted sabe el tipo de rompecabezas: Dos trenes, a 100 kilómetros de distancia, se aproximan unos a otros, en el misma pista, uno de ellos de 30 millas por hora, el otro 20 millas por hora. El vuelo de un ave de 120 millas por hora comienza en Un tren (cuando se son 100 millas de distancia), a las moscas tren B, se da la vuelta y vuelve volando el tren que se aproxima Una, y así sucesivamente, hasta que los dos trenes chocan. ¿Hasta qué punto el pájaro volado cuando la colisión se produce? "Dos ciento cuarenta millas," von Neumann respondió casi al instante. "Maldito", replicó su colega, "me predijo que haría de la duro camino en el que se resumen las series infinitas." "¡Ay!" de von Neumann lloraba en la vergüenza, golpeando su frente. "Hay una forma muy fácil!"
Solución 1 - Fácil:
Los trenes chocan en $T_t=\frac{D_0}{V_1+V_2}$. Por lo tanto $D_b=V_b\cdot\frac{D_0}{V_1+V_2}=120\cdot\frac{100}{50}=240$
Difícil Solución preliminar:
En la primera etapa, el ave recorre la distancia $D_0$ en el tiempo $T_0=\frac{D_0}{V_b+V_2}$;
En el segundo tramo, distancia y cantidad de duración: $D_1 = D_0-T_0 \cdot (V_1+V_2) = D_0 \cdot \frac{V_b-V_1}{V_b+V_2}; T_1=D_0 \cdot \frac{V_1-V_b}{V_1+V_b}*(V_2+V_b))=T_0 \cdot \frac{V_b-V_1}{V_b+V_1}$
En la tercera etapa, de una recurrencia de la que emerge:
$D_2 = D_0 \cdot \frac{(V_1-V_b)\cdot(V_2-V_b)}{(V_1+V_b)\cdot(V_2+V_b)} ; T_2 = T_0 \cdot \frac{(V_1-V_b)\cdot(V_2-V_b)}{(V_1+V_b)\cdot(V_2+V_b)}$
La misma recurrencia se encuentra a celebrar entre el$D_3$$D_1$$T_3$$T_1$.
Si ponemos:
$$R=\frac{(V_1-V_b)\cdot(V_2-V_b)}{(V_1+V_b)\cdot(V_2+V_b)}$$
Vemos que tanto la duración total y la distancia total recorrida por el ave puede ser calculado sumando un geométrica de la serie con el coeficiente de $R$ y los respectivos primeros términos de $(T_0+T_1)$ y $(D_0+D_1)$. $R< 1$ se mantiene, por lo la convergencia está asegurada.
Por lo tanto tenemos.
Solución 2:
$$T_t= \sum (T_0+T_1)R^n = \frac{D_0}{V_1+V_2}; D_b= V_b\cdot\frac{D_0}{V_1+V_2}$$
Esto coincide con la solución de (1) como se debe.
Solución 3:
$$D_b= \sum(D_0+D_1)R^n ) = D_0 \cdot \frac{(V_1+V_b)\cdot(V_2-V_1+2 V_b)}{2 V_b\cdot(V_2+V_1)}$$
Estoy frustrado.
