Ejemplo de pregunta de la topología del orden de Munkres (Sección 14 Ejemplo 4)

Question

En la sección 14, Munkres introduce la topología del orden, y da este ejemplo:

El conjunto $X$ = {1,2} $\times \mathbb{Z}_{+}$ en el orden del diccionario es un ejemplo de un conjunto ordenado con un elemento más pequeño. Denotando 1 $\times$ $n$ por $a_{n}$ y 2 $\times$ $n$ por $b_{n}$, podemos representar $X$ por $a_{1},a_{2}, \cdots ; b_{1}, b_{2}, \cdots$. La topología del orden en $X$ no es la topología discreta. La mayoría de los conjuntos de un solo punto son abiertos, pero hay una excepción - el conjunto de un solo punto $\{ b_{1}\}$. Cualquier conjunto abierto que contenga a $b_{1}$ debe contener un elemento de la base alrededor de $b_{1}$ (por definición), y cualquier elemento de la base que contenga a $b_{1}$ contiene puntos de la secuencia $a_{i}$.

Entiendo que dada un conjunto $X$, la topología discreta en $X$ es la colección de $todos$ los subconjuntos de $X$. Y parece que están asumiendo que la topología está generada por cierta base, y que la "definición" que Munkres está utilizando para justificar la primera parte de la última oración es la que está en la página 78, es decir, que un subconjunto $U$ de $X$ es abierto en $X$ (es decir, en la topología) si para cada $x \in U$, hay un elemento de la base $B \in$ B tal que $x \in B$ y $B \subset U$, donde B es la base. La parte que me confunde es la parte en negrita del párrafo anterior. ¿Por qué esto implicaría que $b_{1}$ no es abierto?

¡Gracias por cualquier ayuda/aclaración!

Sinceramente,

Vien

Answer 1

Como mencionaste, sea $\mathcal{B}$ una base. $U$ es abierto si y solo si para todo $x$ en $U$ existe un $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subset U.

Ahora, para tu ejemplo, sea $U = \{b_1\}$, $x = b_1$. Si $\{b_1\}$ fuera en realidad abierto, entonces existiría un conjunto abierto $B$ de la base tal que $b_1 \in B \subset \{b_1\}$. Sin embargo, todos los conjuntos abiertos de la base que contienen a $b_1$ contienen algún $a_i$. Por lo tanto, no es posible que $B \subset \{b_i\}$. La definición de ser abierto de acuerdo con la base de la topología no se cumple, por lo que $\{b_1\}$ no puede ser abierto.

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Por cierto, interpreté la pregunta como: ¿cómo implica la declaración en negrita que $\{b_1\}$ no es abierto? Supuse que sabes cómo probar la declaración en negrita.

Answer 2

Si $\{b_1\}$ fuera abierto, entonces como dices, tendría que existir algún elemento de base $B$ para que $b_1 \in B \subset \{b_1\}$ de modo que $B = \{b_1\}$. Pero como él argumenta, este no es un elemento de base para la topología de orden.

Answer 3

Existen cinco posibles tipos de elementos que tiene la base, a saber, $[1\times 1, 1\times m)$, $[1\times 1, 2\times m)$, $(1\times n, 1\times m)$, $(1\times n, 2\times m)$, o $(2\times n, 2\times m)$. Entonces en cualquier caso si $\{b_1\}$ es abierto entonces contendrá algún tipo de elemento anterior que contenga $b_1$. Dado que solo los primeros cuatro tipos de elementos contendrán $b_1$ y todos ellos contienen algún $a_i$ que no está en $\{b_1\}$ así que $\{b_1\}$ no es abierto.