Edit: Un par de minutos después de la publicación de esta pregunta (que yo había estado pensando durante aproximadamente un día) me di cuenta de la respuesta en el $3 \times 3$ de los casos; véase mi respuesta a continuación. Sin embargo, la pregunta que todavía podría ser interesante en el más general de la $(2n+1) \times (2n+1)$ de los casos, por lo que todavía estoy interesada en la cuestión más general. Abajo está la pregunta original.
Revisión de campo $\mathbb K$. Dos jugadores, Eloise y Abelardo, jugar a un juego. Comienzan con un vacío $3 \times 3$ matriz. $$ \begin{pmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix} $$ Su turno alternativo: en primer lugar Eloise, a continuación, Abelardo, y así sucesivamente. Una vez se compone de relleno en uno de los espacios en blanco en la matriz con un elemento de $\mathbb K$. Después de Eloise primer movimiento, la matriz podría parecer $$ \begin{pmatrix} * & 3 & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}; $$ después de Abelardo primer movimiento, que podría parecer $$ \begin{pmatrix} * & 3 & * \\ * & * & * \\ -5 & * & * \end{pmatrix}. $$ El juego termina cuando la matriz se llena, por lo que un juego siempre dura 9 vueltas. Eloise gana el juego si la matriz es invertible, es decir, si su determinante es distinto de cero. Abelardo gana si la matriz es singular, es decir, su determinante se desvanece.
Claramente, dado que el número de vueltas en el juego es limitado, uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.
Mi pregunta es:
¿Eloise o Abelardo tiene una estrategia ganadora? ¿Esto dependerá el campo $\mathbb K$, y si es así, ¿de qué manera?
La pregunta está motivada por esta pregunta y respuesta , donde se muestra que si trabajamos en un $2n \times 2n$ de la matriz en su lugar, Abelardo tiene una estrategia ganadora: cuando Eloise juega un movimiento en una fila impar, Abelardo juega el mismo movimiento en la fila de abajo; y cuando Eloise juega un movimiento en una hilera, Abelardo juega el mismo movimiento en la fila de arriba. Esto asegura que, por cualquier $i$ filas $2i-1$ $2i$ está de acuerdo, por lo que la matriz es singular. Tenga en cuenta que esta estrategia también funciona si Abelardo sólo copias Eloise se mueve en las filas 1 y 2, y juega de movimientos aleatorios (fuera de la fila 1 y 2) de lo contrario.
La misma estrategia no funciona en el extraño caso: si Abelardo intenta hacer filas 1 y 2 de la $3 \times 3$ matriz, Eloise se puede llenar la fila 3 en primer lugar, obligando a Abelardo a hacer un movimiento en la fila 1 y 2 antes de Eloise. Ya que todos los números pares son fáciles, y un $1 \times 1$ matriz es un caso trivial, esto hace que el $3 \times 3$ matriz de la primera no-trivial caso; pero, por supuesto, podemos hacer la pregunta de una $(2n +1) \times (2n+1)$ matriz para cualquier $n$.
Escribí un corto, a la ineficiencia de secuencia de comandos de Python para la fuerza bruta de la solución para $\mathbb K = \mathbb F_2$, e $\mathbb K = \mathbb F_3$. (Es tan ineficiente que $\mathbb K = \mathbb F_5$ ya es un problema). Resulta que en estos dos casos, Abelardo tiene una estrategia ganadora (suponiendo que mi script es la correcta), aunque no he sido capaz de ver un patrón en los resultados de los cálculos que sugieren un humano-comprensible estrategia.
Para una última observación: parece que Eloise tiene una ventaja, consiguiendo el primer y el último turno, pero resulta que su primer turno es (esencialmente) determinado. Es decir, si ella juega un cero, entonces Abelardo puede vencer a ella. Sin pérdida de generalidad, supongamos ella ha jugado el cero en la parte superior izquierda. A continuación, Abelardo puede agregar un cero al lado, y Eloise se ve obligado a guardar la fila de convertirse en todos los ceros: $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & e_1 \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}. $$ Entonces, Abelardo puede jugar un cero en el medio a la izquierda, obligando a Eloise de forma similar guardar la columna de la izquierda se convierta todos los ceros: $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & e_1 \\ 0 & * & * \\ e_2 & * & * \end{pmatrix}. $$ Pero, a continuación, Abelardo gana por jugar un 0 en el centro del campo: $$ \det\begin{pmatrix} 0 & 0 & e_1 \\ 0 & 0 & * \\ e_2 & * & * \end{pmatrix} = 0. $$ Por lo tanto, Eloise debe jugar un no-cero mover, y por la ampliación de la matriz podemos muy bien suponer que ella juega 1. Así, podemos empezar el juego como $$ \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix} $$ en su lugar, dejar de Abelardo y tomar el primer paso.
