Dado $\ell\in\mathbb{N}\land\left(m,n\right)\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{2}\land\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^{3}\land0<a<b<1\land0<c<1$, definir la función de $\mathcal{J}_{\ell,m,n}{\left(a,b,c\right)}$ a través de la integral definida
$$\small{\mathcal{J}_{\ell,m,n}{\left(a,b,c\right)}:=\int_{0}^{1}\mathrm{d}t\,\frac{t^{m-\frac12}\left(1-t\right)^{\ell+n-\frac12}}{\left(1-at\right)^{\ell}}\,{_2F_1}{\left(\frac12,m+\frac12;m+\frac32;bt\right)}\,{_2F_1}{\left(\frac12,n+\frac12;n+\frac32;c\left(1-t\right)\right)}}.$$
La función hipergeométrica de Gauss ${_2F_1}$ puede ser definido a través de la serie infinita
$${_2F_1}{\left(\alpha,\beta;\gamma;z\right)}:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\alpha\right)_{n}\,\left(\beta\right)_{n}}{\left(\gamma\right)_{n}}\cdot\frac{z^{n}}{n!};~~~\small{\left|z\right|<1}.$$
Pregunta: ¿la integral anterior poseen una forma cerrada de la representación en términos de hipergeométrica (o más) funciones?
Punto de partida: la Falta de cualquier manera obvia para evaluar esta integral, una estrategia que le venía a la mente era la de ampliar la integral como una múltiple serie infinita, que podría ser convertido en la representación hipergeométrica (suponiendo que exista). Como se puede ver a continuación, las cosas se ponen difíciles, y es difícil saber si el progreso está siendo hecho.
Deje $\ell\in\mathbb{N}\land\left(m,n\right)\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{2}\land\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^{3}\land0<a<b<1\land0<c<1$. Nos encontramos
$$\begin{align} \mathcal{J}_{\ell,m,n}{\left(a,b,c\right)} &=\int_{0}^{1}\mathrm{d}t\,\frac{t^{m-\frac12}\left(1-t\right)^{\ell+n-\frac12}}{\left(1-at\right)^{\ell}}\,{_2F_1}{\left(\frac12,m+\frac12;m+\frac32;bt\right)}\\ &~~~~~\times\,{_2F_1}{\left(\frac12,n+\frac12;n+\frac32;c\left(1-t\right)\right)}\\ &=\int_{0}^{1}\mathrm{d}t\,\frac{t^{m-\frac12}\left(1-t\right)^{\ell+n-\frac12}}{\left(1-at\right)^{\ell}}\,{_2F_1}{\left(\frac12,m+\frac12;m+\frac32;bt\right)}\\ &~~~~~\times\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac12\right)_{k}\,\left(n+\frac12\right)_{k}\,c^{k}}{\left(n+\frac32\right)_{k}\,k!}\left(1-t\right)^{k}\\ &=\small{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac12\right)_{k}\,\left(n+\frac12\right)_{k}\,c^{k}}{\left(n+\frac32\right)_{k}\,k!}\int_{0}^{1}\mathrm{d}t\,\frac{t^{m-\frac12}\left(1-t\right)^{\ell+n+k-\frac12}}{\left(1-at\right)^{\ell}}\,{_2F_1}{\left(\frac12,m+\frac12;m+\frac32;bt\right)}}\\ &=\small{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac12\right)_{k}\,\left(n+\frac12\right)_{k}\,c^{k}}{\left(n+\frac32\right)_{k}\,k!}\int_{0}^{1}\mathrm{d}t\,\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+\ell-1}{j}a^{j}t^{m+j-\frac12}\left(1-t\right)^{\ell+n+k-\frac12}}\\ &~~~~~\times\,{_2F_1}{\left(\frac12,m+\frac12;m+\frac32;bt\right)}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac12\right)_{k}\,\left(n+\frac12\right)_{k}\,c^{k}}{\left(n+\frac32\right)_{k}\,k!}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+\ell-1}{j}a^{j}\\ &~~~~~\times\int_{0}^{1}\mathrm{d}t\,t^{m+j-\frac12}\left(1-t\right)^{\ell+n+k-\frac12}\,{_2F_1}{\left(\frac12,m+\frac12;m+\frac32;bt\right)}\\ &=\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\binom{j+\ell-1}{j}\left(\frac12\right)_{k}\,\left(n+\frac12\right)_{k}\,a^{j}\,c^{k}}{\left(n+\frac32\right)_{k}\,k!}\,\operatorname{B}{\left(\frac12+m+j,\frac12+\ell+n+k\right)}\\ &~~~~~\times\,{_3F_2}{\left(\frac12,\frac12+m,\frac12+m+j;\frac32+m,1+\ell+m+n+j+k;b\right)}\\ &=\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\binom{j+\ell-1}{j}\left(\frac12\right)_{k}\,\left(n+\frac12\right)_{k}\,a^{j}\,c^{k}}{\left(n+\frac32\right)_{k}\,k!}\,\operatorname{B}{\left(\frac12+m+j,\frac12+\ell+n+k\right)}\\ &~~~~~\times\sum_{p=0}^{\infty}\frac{\left(\frac12\right)_{p}\,\left(\frac12+m\right)_{p}\,\left(\frac12+m+j\right)_{p}\,b^{p}}{\left(\frac32+m\right)_{p}\,\left(1+\ell+m+n+j+k\right)_{p}\,p!}.\\ \end{align}$$
¿Alguien tiene alguna idea para el acabado de la derivación, o de otro enfoque totalmente? Este es un difícil y costoso problema, pero también uno que estoy con ganas de crack. Cualquier hep sería muy apreciada!
