Expansión térmica de un disco giratorio

Question

Esta pregunta surgió en una sección de debate en la actualidad. Algunos compañeros y yo se rompió nuestras cabezas por un tiempo, pero no podía llegar a una conclusión satisfactoria.

Imagina que tienes un delgado disco de masa $M$, radio $R$ y densidad uniforme que el de rotación sobre su eje de simetría con una velocidad angular constante $\omega$. Ignore la fricción. Sumerja el disco en un baño de calor que se $\Delta T$ grados más caliente que el disco, que hace que el tamaño del disco para ampliar con algunos coeficiente de $\alpha > 0$:

$\Delta R = \alpha\,\Delta T\,R$ y, por tanto, a primer orden en $\alpha \Delta T$

$\Delta R^2 \approx 2\alpha\, \Delta T\,R^2$

Claramente, esto aumenta el momento de inercia de la $I = \frac{1}{2}MR^2$ del disco.

La pregunta es, ¿y ahora qué sucede con el momento angular $L$ y el de energía $E$ de la disco? Si asumimos $L$ se conserva ya que (por lo que puedo ver) no hay ningún par externo de trabajo en el sistema, a continuación, $\omega$ disminuirá por el mismo factor de $I$ aumenta; pero esto disminuye el total de energía rotacional $E = I\omega^2/2$. Esto parece contrario a la intuición - la energía de alguna manera necesita para escapar de la disco, pero no puede fluir en el baño de calor ya que éste es igual o superior a la temperatura de la disco. Si usted asume que $L$ no se conserva, entonces es aumentar o disminuir y donde se hace el correspondiente par vienen o van?

Answer 1

Esto es realmente un problema interesante. Para ampliar lo que @alephzero dijo, antes de que el disco de la temperatura, incluso, cambios, ya existe un desplazamiento radial de la distribución u(r), y el acompañamiento de deformaciones y tensiones en la radial y circunferencial de las direcciones. Por lo que el disco se deformará, para empezar, y esto jugará un papel importante en la determinación tanto de la inicial radial de la distribución de la masa y la almacena energía elástica.

Cuando los cambios de temperatura, el desplazamiento radial de la distribución va a cambiar de nuevo, y las tensiones que va a cambiar como resultado tanto de los cambios de temperatura y la radial y circunferencial de las cepas, más allá de aquellos que habrían de existir a partir de restricciones a la expansión térmica. Esto resultará en un cambio en la almacena energía elástica de la disco. Así, mientras que el momento angular del disco permanecerá constante, su energía cinética se cambian de tal manera que la suma de la energía cinética plus almacena energía elástica antes de la subida de la temperatura es la misma que después de la subida de la temperatura.

Todo esto puede ser modelado con precisión. La base de un modelo que serían principalmente la determinación del desplazamiento radial de la distribución u(r) antes y después. Los desplazamientos en la dirección tangencial sería cero, y, en el espesor de la dirección, se podría suponer plano de estrés.

EDITAR

A continuación es una versión simplificada del problema que capta la esencia de lo que están pidiendo. La razón por la que he introducido este simplificado problema es que, si no podemos resolver este problema, por cierto, no ser capaz de resolver el mucho más complicado problema de disco. Además, la física fundamental de los mecanismos presentes en la simplificación del problema son, precisamente, los que caracterizan el problema del disco.

Considere la posibilidad de una masa M en el extremo de una masa elástica de alambre que se mueve en un círculo horizontal a una velocidad angular $\omega_i$. El área de la sección transversal del alambre es Una, su módulo de elasticidad es E, su coeficiente de expansión lineal es $\alpha$, y extendió su longitud es de $R_0$. Inicialmente, la longitud del cable conectado a la rotación de la masa es $R_i$. Después de esta rotación inicial, el estado se ha establecido, la temperatura del alambre es mayor por $\Delta T$ y, como resultado, su longitud aumenta a $R_f$ y su velocidad angular disminuye a $\omega_f$. Lineal de tensión-deformación de análisis (es decir, para las pequeñas cepas), encontrar (en términos de $R_0$, M, E, a, $\alpha$, e $\omega_i$) la inicial de longitud extendida $R_i$, la final de longitud extendida $R_f$, y el final de la velocidad angular $\omega_f$. También muestran que la disminución en la energía cinética de la masa como resultado de calefacción es igual al incremento en la almacena energía elástica del alambre.

El equilibrio de fuerzas sobre la masa en el principio de rotación y en la calefacción de los estados está dada por:

$$k(R_i-R_0)=M\omega_i^2R_i\tag{1}$$ $$k(R_f-R_0-\alpha \Delta T R_0)=M\omega_f^2R_f\tag{2}$$where $k=EA/R_0$. In addition, conservation of angular momentum requires that:$$\omega_fR_f^2=\omega_iR_i^2\tag{3}$$ La linealizado (pequeña cepa) solución a estas ecuaciones para $R_i$, $R_f$, y $\omega_f$ está dado por:$$R_i=R_0\left(1+\frac{m\omega_i^2}{k}\right)\tag{4}$$ $$R_f=R_0\left(1+\frac{m\omega_i^2}{k}+\alpha \Delta T\right)\tag{5}$$ $$\omega_f=\omega_i(1-2\alpha \Delta T)\tag{6}$$

El cambio en la energía cinética de la masa de $\Delta (KE)$ está dada por: $$\Delta (KE)=\frac{M}{2}(\omega_f R_f)^2-\frac{M}{2}(\omega_i R_i)^2\tag{7}$$ El cambio en la almacena energía elástica del alambre $\Delta (SE)$ está dado por $$\Delta (SE)=k\left[\frac{(R_f-R_0)^2}{2}-\frac{(R_i-R_0)^2}{2}-\frac{\alpha \Delta TR_0}{2}(R_f-R_i)\right]\tag{8}$$ Si sustituimos Eqns. 4-6 en Eqns. 7 y 8, y el desprecio de orden superior no-lineal de términos, obtenemos $$\Delta (KE) = M(\omega_iR_0)^2(\alpha \Delta T)\tag{9}$$ $$\Delta (SE) = -M(\omega_iR_0)^2(\alpha \Delta T)\tag{10}$$ De esta forma se comprueba que la disminución en la energía cinética del sistema es precisamente compensada por el aumento en la almacena energía elástica del sistema. Esta es la forma en que la energía se conserva en el sistema.

Estos mismos resultados cualitativos se aplican al problema de disco.

Answer 2

Me gustaría simplificar este a una masa M en el extremo de un alambre de longitud R, balanceándose en la velocidad tangencial $v$ alrededor de un pivote central.

Ahora a través de algún proceso, el alambre se alargó por un factor de 2. Al hacerlo, el momento angular se conserva, por lo que la velocidad tangencial de masa M se reduce por un factor de 2, y la energía cinética disminuye por un factor de 4. Como el alambre de aumento en la longitud, la masa de la fuerza centrípeta actuado sobre él, hacer el trabajo, más probable es que al poner el calor en el alambre.

Que es donde la energía se fue.

Si quieres ver cómo un cambio en el radio puede afectar a la energía cinética, mi ejemplo favorito es el quemador de incienso en la Catedral de Santiago de Compostela. Si usted puede tolerar la música, se puede ver que el acortamiento de la radio en el medio de la oscilación, cuando la fuerza centrípeta es mayor, pone energía en el sistema, y el alargamiento de la radio en los extremos de la oscilación, cuando la fuerza es menos, consume menos energía. Por lo que el neto es un aumento en la energía.

Para hacerlo más lento, que sólo puede hacer el contrario. Baja en el centro, y elevar a los extremos. Bajando en el centro es análogo a lo que está sucediendo en su problema.

Answer 3

Incluso si usted simplificar el problema suponiendo que el disco rígido, no es un campo de tensión en ella cuando está girando.

Si el disco cambia de forma, el campo de tensión va a hacer un trabajo mecánico.

Le sugiero que empiece por considerar un delgado anillo, no es un disco sólido - usted entonces sólo hay que considerar el trabajo realizado por la tensión del aro, cuando la circunferencia del anillo de cambios, que es análoga a la del cambio en la presión interna de energía cuando se estira un resorte.

Este problema es similar al cambio en KE de un giro de hielo-skater, cuando él/ella extiende sus brazos para cambiar la velocidad angular. Moviendo el patinador brazos radialmente dentro o fuera hace un trabajo mecánico.

Answer 4

Existe una discusión similar aquí en el pasado.

En este caso, se conserva el ímpetu angular es sin aparente esfuerzo de torsión. Sin embargo, la energía cinética rotacional aumentan porque calor expandir el disco haciendo el trabajo. Cuando el ambiente se enfría, el contrato del disco, el trabajo de disco produce calor.

Answer 5

La cantidad de energía necesaria para elevar la temperatura del disco es mucho mayor que el cambio en la energía cinética resultante de la expansión. Así que a pesar de lo KE entra en calor, no sigue que el flujo neto del disco al baño sería hacia fuera. Sólo reduciría la transferencia total de calor (por una pequeña cantidad).