Prueba

Question

¿Cómo probar que: $\tan20^{\circ}.\tan30^{\circ}.\tan40^{\circ}=\tan10^{\circ}$?

Sé cómo probar $\frac{\tan 20^{0}\cdot\tan 30^{0}}{\tan 10^{0}}=\tan 50^{0},$

de esta manera:

$\tan{20^0} = \sqrt{3}.\tan{50^0}.\tan{10^0}$

$\Longleftrightarrow \sin{20^0}.\cos{50^0}.\cos{10^0} = \sqrt{3}.\sin{50^0}.\sin{10^0}.\cos{20^0}$

$\Longleftrightarrow \frac{1}{2}\sin{20^0}(\cos{60^0}+\cos{40^0}) = \frac{\sqrt{3}}{2}(\cos{40^0}-\cos{60^0}).\cos{20^0}$

$\Longleftrightarrow \frac{1}{4}\sin{20^0}+\frac{1}{2}\sin{20^0}.\cos{40^0} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{40^0}.\cos{20^0}-\frac{\sqrt{3}}{4}.\cos{20^0}$

$\Longleftrightarrow \frac{1}{4}\sin{20^0}-\frac{1}{4}\sin{20^0}+\frac{1}{4}\sin{60^0} = \frac{\sqrt{3}}{4}\cos{60^0}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos{20^0}-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos{20^0}$

$\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

¿Esto podría ayudar a probar la primera de ellas y cómo? ¿Sólo necesito saber que $\frac{1}{\tan\theta}=\tan(90^{\circ}-\theta)$?

Answer 1

En una palabra, sí. Ya sabes que (en grados) $\tan 20\cdot\tan30=\tan10\cdot\tan50$ para

$$\tan20\cdot\tan30\cdot\tan40 = \tan10\cdot\tan50\cdot\tan40$$

y su observación que

$$\frac{1}{\tan40}=\tan50 es todo lo que necesitas.

Answer 2

Esta puede ser la manera más difícil, pero se puede usar $$\tan\theta={e^{i\theta}-e^{- i\theta}\over i(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}$$ to write everything in terms of $\zeta=e^{\pi i/18}$. Then $\zeta$ es una primitiva 36º de la raíz de la unidad, y se puede utilizar para hacer simplificaciones.

EDIT: a la luz de los comentarios, me la carne este fuera un poco.

Empezamos con la fórmula de Euler, $$e^{ix}=\cos x+i\sin x\tag1$$ We'll say a bit more about where this comes from, later. Replace $x$ everywhere with $-x$, and use $\cos(-x)=\cos x$ and $\sen(-x)=-\sin x$, to get $$e^{-ix}=\cos x-i\sin x\tag2$$ Add (1) and (2), and divide by 2 to get $$\cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over2}\tag3$$ Subtract (2) from (1) and divide by $2i$ to get $$\sin x={e^{ix}-e^{-ix}\over2i}\tag4$$ Divide (4) by (3) to get $$\tan x={e^{ix}-e^{-ix}\over i(e^{ix}+e^{-ix})}\tag5$$ 10 degrees is $\pi/18$ radians; put in $x=\pi/18$ to get $$\tan{\pi\over18}={e^{i{\pi\over18}}-e^{-i{\pi\over18}}\over i(e^{i{\pi\over18}}+e^{-i{\pi\over18}})}\tag6$$ Let $\zeta=e^{\pi i/18}$; then $$\tan{\pi\over18}={\zeta-\zeta^{-1}\over i(\zeta+\zeta^{-1})}\tag7$$ Similarly, 20, 30, 40 degrees are $2\pi/18,3\pi/18,4\pi/18$ radians, respectively, and we get $$\tan{2\pi\over18}={\zeta^2-\zeta^{-2}\over i(\zeta^2+\zeta^{-2})},\quad\tan{3\pi\over18}={\zeta^3-\zeta^{-3}\over i(\zeta^3+\zeta^{-3})},\quad\tan{4\pi\over18}={\zeta^4-\zeta^{-4}\over i(\zeta^4+\zeta^{-4})}\tag8$$ So now you can take the equation in the title, and write it completely in terms of these powers of $\zeta$, and when you multiply through by all the denominators and an appropriate power of $\zeta$, you just get an equation in powers of $\zeta$ que necesita ser verificada.

En ese momento, puede que tenga algunas propiedades de $\zeta$. Por (1), $\zeta^{36}=1$, y $\zeta^{18}=-1$. Usted puede necesitar un poco más de las propiedades de $\zeta$, pero tendríamos que ver la ecuación de la primera.

Y, como se sugiere en la primera línea, y verificado por el Rick de la solución, esta es la forma más difícil, para este problema. Pero aún así es bueno saber que estos métodos, ya que hay situaciones en las que proporcionan la manera más fácil.

Answer 3

Otro enfoque:

Permite, empezar por la organización de la expresión: $$\tan(20°) \tan(30°) \tan(40°) = \tan(30°) \tan(40°) \tan(20°)$$ $$=\tan(30°) \tan(30°+10°) \tan(30° - 10°)$$

Ahora, vamos a expresar $\tan(30° + 10°)$$\tan(30° - 10°)$, ya que la proporción de Prosthaphaeresis Fórmulas, que nos da: $$\tan(30°) \left( \frac{\tan(30°) + \tan(10°)}{1 - \tan(30°) \tan(10°)}\right) \left( \frac{\tan(30°) - \tan(10°)}{1 + \tan(30°) \tan(10°)}\right)$$

$$= \tan(30°) \left( \frac{\tan^2(30°) - \tan^2(10°)}{1 - \tan^2(30°) \tan^2(10°)}\right)$$

Sustituyendo el valor de $\color{blue}{\tan(30°)}$,

$$= \tan(30°) \left(\frac{1 - 3\tan²(10°)}{3 - \tan²(10°)}\right)$$

Multiplicando y dividiendo por $\color{blue}{\tan(10°)}$,

$$=\tan(30°) \tan(10°) \left(\frac{1 - 3\tan²(10°)}{3 \tan(10°) - \tan^3(10°)}\right)$$

Se puede demostrar fácilmente que: $\color{blue}{\tan 3A =\large \frac{3 \tan A - \tan^3A}{1-3\tan^2A}}$,

Por lo tanto, nuestro problema se reduce a: $$=\tan(30°) \tan(10°) \frac{1}{\tan(3\times 10°)}= \tan(10°)$$

QED!