Cómo integrar $\int x\sin {(\sqrt{x})}\, dx$

Question

He intentado usando integración por partes dos veces, del mismo modo hacemos $\int \sin {(\sqrt{x})}$ pero en la segunda integral, no estoy recibiendo una expresión que es igual a $\int x\sin {(\sqrt{x})}$.

Dejo $\sqrt x = t$, $$\int t^2 \cdot \sin({t})\cdot 2t dt = 2\int t^3\sin(t)dt = 2[(-\cos(t)\cdot t^3 + \int 3t^2\cos(t))] = 2[-\cos(t)\cdot t^3+(\sin(t)\cdot 3t^3 - \int 6t \cdot \sin(t))]]$ $

que no encuentro útil.

Answer 1

Sí, de hecho, seguir como usted hizo en los comentarios, tratar $\int 6t\sin t \,dt\;$ como un integral independiente, usar integración por partes y agregar (o restar, si es apropiado) que resultan a su trabajo anterior y usted terminará con una expresión con no integrales queda:

$$\int t^2 \cdot \sin({t})\cdot 2t dt = $$

$$= 2[-\cos(\sqrt x) \cdot x(\sqrt x) + \sin(\sqrt x)\cdot 3x -(\cos(\sqrt x)\cdot6\sqrt x+\sin(\sqrt x)\cdot \sqrt x + \cos (\sqrt x))] + C$$

después de sustituir $\sqrt x$ $t$, aunque sugiero encontrar una manera de simplificar (combinando términos, etcetera.)

Answer 2

¿A continuar su camino de integración parcial con el integral pasado? La última integral es puramente un coseno que es integrable y rendimientos de su solución.

Answer 3

que has hecho hasta este - $ 2[-\cos(t)\cdot t^3+(\sin(t)\cdot 3t^3 - \int 6t \cdot \sin(t))]]$

otra vez usar las piezas para obtener

$ 2[-\cos(t)\cdot t^3+(\sin(t)\cdot 3t^3 - 6(t(-\cos t) +\sin(t))$ =

$ 2[-\cos(t)\cdot t^3+(\sin(t)\cdot 3t^3 + 6(t(\cos t) -6\sin(t))$ . que le da su respuesta.

solo poner $ \sqrt{x} = t $ y está a través.

Answer 4

Integración por partes, obtenemos

Si $n\ne-1,$

$$\int x^n\cos\sqrt xdx= \frac{x^{n+1}\cos\sqrt x}{n+1}+\frac1{2(n+1)}\int x^{n+\frac12}\sin\sqrt x dx$$

$$\int x^n\sin\sqrt xdx= \frac{x^{n+1}\sin\sqrt x}{n+1}-\frac1{2(n+1)}\int x^{n+\frac12}\cos\sqrt x dx$$

Poner $n=\frac12$ en el primer integral,

$$\int x^\frac12\cos\sqrt xdx= \frac{x^{\frac12+1}\cos\sqrt x}{\frac12+1}+\frac1{2(\frac12+1)}\int x\sin\sqrt x dx$$

$$\implies \int x\sin\sqrt x dx=3\int x^\frac12\cos\sqrt xdx- 2x^{\frac12+1}\cos\sqrt x$$

Poner $n=0$ en la segunda integral,

$$\int \sin\sqrt xdx= \frac{x \sin\sqrt x}{1}-\frac1{2}\int x^{\frac12}\cos\sqrt x dx$$

$$\implies \int x^{\frac12}\cos\sqrt x dx= 2x \sin\sqrt x-2\int \sin\sqrt xdx$$

Ahora, $\int \sin\sqrt xdx$ puede ser encontrado aquí