El producto de dos ideales se define como el conjunto de todas las sumas finitas $\sum f_i g_i$, $f_i$ un elemento de $I$ y $g_i$ un elemento de $J$. Estoy tratando de pensar en un ejemplo en que $IJ$ no es igual a $I \cap J$.
¿Estoy pensando en dejar $I = 2\mathbb{Z}$ y $J = \mathbb{Z}$ y $I\cap J = 2\mathbb{Z}$? ¿Puede alguien señalar nada defectuoso sobre esta lógica de trabajo con un ideal incluso y luego un extraño ideal?
Gracias de antemano.
Tal vez es útil para que usted pueda darse cuenta de lo que realmente pasa por los ideales en los enteros. Usted probablemente sabe que cualquier ideal en $\mathbb Z$ es de la forma$(a)$$a\in \mathbb Z$, es decir, es generado por un elemento. Los elementos en $(a)$ son todos los números enteros que son divisibles por $a$.
Si nos dan dos ideales $(a)$$(b)$, su intersección formado por los números que son divisibles por $a$ y divisible por $b$. Su producto consiste de todos los números que son divisibles por el producto $ab$.
Si $a$ $b$ son coprime son los mismos. E. g. todos los números que son divisibles por $2$ $3$ también son divisibles por $6$, y viceversa. Si son no coprime la situación cambia. Si un número es divisible por $4$$2$, entonces no es necesariamente divisible por $8$.
Otra forma de decir que dos enteros $a$, $b$ son coprime es que no existe $x,y$, de tal manera que $xa+by=1$ (cf. Algoritmo de euclides). En el lenguaje de los ideales, esto se traduce a $(a)+(b)=\mathbb Z$ y el círculo se cierra.
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