Posible duplicado:
Pasos para resolver este sistema de ecuacionesDurante el vuelo de Moscú a Yerevan, mi vecino me dio el siguiente problema:
Resolver el sistema:
$$\left\{\begin{array}{c}x^2+y=7 \\ y^2+x=11. \end{array}\right.$$
Es fácil encontrar 1 de las 4 soluciones. ¿Hay una manera hermosa de encontrar los otros tres?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cada una de las soluciones del sistema dado
$$\left\{ \begin{array}{c} x^{2}+y=7 \\ y^{2}+x=11 \end{array} \right. \tag{0}$$
es una solución de
$$\left\{ \begin{array}{c} \left( y-3\right) \left( y^{3}+3y^{2}-13y-38\right) =0 \\ x^{2}=121-22y^{2}+y^{4}. \end{array}\etiqueta{1} \right. $$
Lo mismo se aplica para el sistema de
$$\left\{ \begin{array}{c} y^{2}=49-14x^{2}+x^{4} \\ \left( x-2\right) \left( x^{3}+2x^{2}-10x-19\right) =0. \end{array}\etiqueta{2} \right. $$
La solución integral de $(0)$$\left( x_{0},y_{0}\right) =\left( 2,3\right) $. Maneras sencillas de encontrar el resto de las soluciones sólo son posibles en determinados casos, como lo que yo sé. La manera estándar para resolver una ecuación cúbica, tales como
$$y^{3}+3y^{2}-13y-38=0\tag{3}$$
es hacer el cambio de variables $$y=s-\dfrac{3}{3\cdot 1}=s-1\tag{3a}$$ a conseguir la reducción de la ecuación cúbica
$$s^{3}-16s-23=0.\tag{4}$$
Si el discriminante $q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}$ de una ecuación de la forma $s^3+px+q=0$ es negativo, sus tres soluciones son números reales. En este caso tenemos a $q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}=23^{2}-\frac{4\times 16^{3}}{27}<0$ y las soluciones de $(4)$ puede ser escrita en la forma trigonométrica$^{1}$
$$s_{k}=2\sqrt{\frac{16}{3}}\cos \left( \frac{1}{3}\arccos \left( \frac{23}{2}\sqrt{\frac{27}{16^{3}}}\right) +\frac{2\left( k-1\right) \pi }{3}\right),\tag{5}$$
con $k=1,2,3$. Por lo $$y_{k}=s_{k}-1\tag{6}$$ y
$$x_{k}=11-y_{k}^2.\tag{7}$$
Para $k=1$, obtenemos $\left( x_{1},y_{1}\right) \approx \left( -1.8479,3.5844\right) $. And similarly for $k=2$ and $k=3$.
--
$^{1}$Una deducción puede ser encontrado en este portugués post de la mina.
Añadido. Si $\Delta =q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}<0$ los tres soluciones reales de la siguiente reducido ecuación cúbica
$$t^{3}+pt+q=0\tag{A}$$
están dadas por
$$t_{k}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left( \frac{1}{3}\arccos \left( -\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^{3}}}\right) +\frac{2\left( k-1\right) \pi }{3}\right) \tag{B},$$
con $k=1,2,3$.
PS. No me parece funciones trigonométricas ni radicales feo. Pero esto es sólo una opinión.
user30357
Puntos
6
Este es, quizás, una mitad de la solución, tal vez menos. He intentado varias cosas y tal vez estas ideas inspirar a alguien a escribir una solución completa.
Tenga en cuenta que los puntos de intersección de la mentira en el círculo de la forma
$$\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2=\frac{37}{2}$$
Esto se desprende de un teorema general sobre la intersección de dos parábolas con ortogonal de ejes de simetría.
Ahora hay tantos teoremas sobre cuadriláteros cíclicos e incluso algunas de las declaraciones en una parábola que pasa a través de las cuatro esquinas. Entonces el punto dado $(2,3)$ debería dar algo de información adicional. Pero no pude encontrar una manera concisa de terminar esto.
