Comentario inicial: Comenzar por señalar que, para todos los $n\geq 1$, tenemos que
$$
n(\sqrt{n}-2)+2>0\Longleftrightarrow n\sqrt{n}-2n+2>0\Longleftrightarrow \color{red}{\sqrt{n}>2-\frac{2}{n}}.\la etiqueta{1}
$$
Por lo tanto, es suficiente para nosotros para demostrar la proposición $P(n)$ todos los $n\geq 1$ donde
$$
P(n): \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt{n}.\la etiqueta{2}
$$
Si podemos probar $(2)$, entonces habremos probado
$$
\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}}\color{red}{\geq\sqrt{n}}\color{blue}{> 2-\frac{2}{n}},
$$
como se desee. Estoy seguro de que puede manejar la prueba de $(1)$ muy fácilmente.
Reclamo: Para $n\geq 1$, vamos a $P(n)$ denotar la declaración de
$$
P(n): \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt{n}.
$$
Base paso: $P(1)$ mantiene desde $1\geq\sqrt{1}$ es cierto.
Antes de la inducción paso: Considerar la siguiente desigualdad para cualquier $x\geq 1$:
$$
\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}>\sqrt{x+1}\etiqueta{3}.
$$
Brevemente, se observa que para $x\geq 1, \sqrt{x(x+1)}>x$; por lo tanto, $\sqrt{x(x+1)}+1>x+1$. Dividiendo por $\sqrt{x+1}$ demuestra $(3)$. El propósito de $(3)$ es para simplificar los cálculos a continuación en el paso inductivo.
Inductivo paso: Revisión de algunos $k\geq 1$ y supongamos que $P(k)$ es cierto. Entonces
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} &\geq \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\tag{by %#%#%}\\[1em]
&> \sqrt{k+1},\tag{by %#%#%}
\end{align}
lo que muestra que $P(k)$ sigue. Esto concluye el paso inductivo.
Por lo tanto, para todos los $(3)$ es cierto. $S(k+1)$
