$ \int^{\frac{\pi }{4} }_{0} \cos ^{\frac{3}{2} }\left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) d\theta $

Question

$$ \int^{\frac{\pi }{4} }_{0} \cos ^{\frac{3}{2} }\left(2 \theta \right) \cos \left( \theta \right) d\theta $$

Esta integración anterior que traté de resolver y obtener

$$ \int^{\frac{\pi }{4} }_{0} \left( 1-2\sin ^{2}\left( \theta \right) \right) ^{\frac{3}{2} }d\sin \left( \theta \right)$$

y trató de evaluar el poder pero creo que esto es inútil.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo conseguir esta integración en la forma cerrada?
Gracias.

Answer 1

Definir $\sin{\phi}=\sqrt{2} \sin{\theta}$. Entonces la integral es igual a

$$\frac1{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/2} d\phi \, \cos^4{\phi} = \frac{3 \sqrt{2} \pi}{32}$$

NB

$$\int_0^{\pi/2} d\phi \, \cos^{2 n}{\phi} = \frac1{2^{2 n}} \binom{2 n}{n} \frac{\pi}{2} $$