Que $K$ ser un subgrupo normal de $G$ y $H$ un subgrupo normal de $K$. Si $G/H$ es abelian, demostrar que $G/K$ y $K/H$ son ambos abelian.

Question

Creo que esto no es un duplicado

Deje $K$ ser un subgrupo normal de $G$, e $H$ un subgrupo normal de $K$. Si $G/H$ es abelian, demostrar que $G/K$ $K/H$ son tanto abelian.

Mi intento es establecer $f:G/H\to G/K$ $f(Hx)=Kx$ por cada $x\in G$, lo $f(Hx\cdot Hy)=f(H(xy))=K(xy)=Kx\cdot Ky=f(Hx)\cdot f(Hy)$, lo $f$ es un homomorphism y $G/K$ es abelian (desde homomorphisms preservar conmutativity)

Ahora $G/H$ es abelian lo $H(xy)=H(yx)$ por cada $x,y\in G$, pero cada $x,y\in K$ también están en $G$, lo $K/H$ es abelian

Es la prueba de derecho? Yo no veo ningún error, pero nunca He visto/pensó que podría ser un homomorphism entre dos diferentes grupos cociente

Answer 1

Supongo que se te ha olvidado algo: en orden a dar un sentido a la $G/H$, $H$ debe ser normal en $G$. Yo no veo que en tu post.

Una muy agradable y simple criterio para un factor de grupo $G/N$ a ser abelian es si y sólo si el colector subgrupo $G' \subseteq N$. Yo se lo dejo a usted para demostrar que.

En su situación: $H \unlhd G$$H \subseteq K \unlhd G$, y aparentemente $G' \subseteq H$. Desde $H \subseteq K$, se deduce que el $G' \subseteq K$ y, por tanto, $G/K$ es abelian. Además, $K' \subseteq G' \subseteq H$, de donde $K/H$ es también abelian por el criterio, pero ahora aplicado a $H \unlhd K$.