Hola estaba aprendiendo sobre el número de clase y me preguntaba si se sabe cómo construir anillos para cualquier número de clase específico.
Sí, para cada grupo abeliano finito se puede construir un dominio Dedekind con grupo de clases isomorfo a ese grupo. Este es un resultado de la década de 1960 debido a Claborn.
Para más detalles, véase, por ejemplo:
Pete L. Clark: Revisión de los dominios elípticos de Dedekind. Enseignement Math. 55 (2009), 213-225.
Hay un resultado más reciente de Ozaki (publicado alrededor de 2010 ?) que muestra que cualquier p-grupo se puede realizar como el grupo de clase de un campo numérico.
Sí, pensé si debería discutir el caso del campo numérico, pero decidí no hacerlo. Véase esta respuesta en MO donde me enteré por primera vez del resultado que mencionas.
Por cierto, el resultado de Claborn es para todos grupos conmutativos, no sólo finitos. Sospecho que se puede demostrar que todo grupo conmutativo finito es el grupo ideal de clase de algún Anillo de números S en un campo numérico. Esto es equivalente a: todo grupo finito conmutativo es el cociente de un grupo de clase de algún campo numérico y también a: para cualesquiera enteros positivos n y k, el grupo de clase de algún campo numérico tiene al menos k elementos de orden n. Creo que debería ser un resultado conocido, pero no estoy completamente seguro.
Si me permites interpretar tu pregunta para anillos más generales que los anillos Dedekind, también existen los siguientes ejemplos. Sea $C\subseteq \mathbf P^2$ sea una curva no singular de grado $h$ Entonces el complemento $\mathbf P^2\setminus C$ es una variedad algebraica afín cuyo anillo de coordenadas tiene grupo de clase $\mathbf Z/h$ .
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Mark Watkins ha tabulado todos los anillos de enteros de campos de números cuadráticos imaginarios con número de clase $h=1,\ldots,100$ . Así que esto resuelve su pregunta "en la práctica" para los pequeños $h$ . Sin embargo, en general no se sabe si todos los grupos abelianos finitos aparecen o no como grupos de clase de campos de números (es decir, anillo de enteros) - véase aquí .