Valor propio de la matriz de bloques de orden $2n$

Question

¿Cómo encontrar los valores propios de la siguiente matriz de bloques?

$$P=\begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix}$$

Dónde,

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_n$

$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_n$

He leído un resultado para la matriz en bloque que dice que los valores propios de la matriz $P$ es la unión de los valores propios de $A+B$ y $A-B$

Aquí,

$A+B=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_n$

$A-B=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_n$

Cómo encontrar los valores propios de $A+B$ y $A-B$ ?

Sé que los valores propios de $A$ son $2\cos\frac{2\pi j}{n},j=1,2,\cdots,n$

Answer 1

Nótese que los valores propios de $P$ son reales y en $[-3,3]$ .

Dejemos que $U_n$ sea la matriz que se deriva de $A_n$ poniendo las entradas $[1,n],[n,1]$ igual a $0$ .

Entonces $\det(A_n\pm B_n-\lambda I_n)=\det(A_n-\lambda I_n)\pm \det(U_{n-1}-\lambda I_{n-1})=p_n(\lambda)\pm q_{n-1}(\lambda)$ .

Las raíces de $p_n$ son $2\cos(\frac{2\pi j}{n}),j=1,\cdots,n$ .

Las raíces de $q_{n-1}$ son $2\cos(\frac{\pi j}{n}),j=1,\cdots,n-1$ .

Observación 1. Cuando $n$ está en paz, $p_n$ es par y $q_{n-1}$ es impar. Así, $\det(P-\lambda I_{2n})=p_n^2(\lambda)-q_{n-1}^2(\lambda)$ está en paz.

Observación 2. Las raíces de $p_n,q_{n-1}$ , para $1\leq j\leq n-1$ y hasta, son lo mismo. Entonces conocemos explícitamente la mitad de los valores propios de $A\pm B$ . Finalmente, conocemos la mitad de los valores propios de $P$ (tienen multiplicidad $2$ ).