Serie de Laurent, integral sobre el anillo, radios

Question

Se nos da %#% $ #%

Demostrar que %#% $ #%

Sé que %#% $ #%

Sabemos que la serie anterior es convergente, así $$f = \sum_{n= - \infty} ^{\infty} a_n (z-z_0)^n \in \mathcal{O} ( \text{ann} (z_0, r, R)), \ \ 0<r<R< \infty. $ y $$\frac{1}{\pi} \int _{ann (z_0, r, R)} |f(z)|^2 d \lambda(z) = \sum _{n \neq -1} \frac{R^{2n+2} - r^{2n+2}}{n+1}|a_n|^2 + 2 \log \frac{R}{r}|a_{-1}|^2.$.

En la serie $$a_n = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial B(z_0, \rho)} \frac{f(s)}{(s-z_0)^{n+1}}ds, \ \ \rho \in (r,R), \ n \in \mathbb{Z}$% b_n $R = \frac{1}{\limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$= \frac{|a_n|^2}{n+1}$r = \limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{-n}|}$$$\sum _{n \neq -1} \frac{R^{2n+2}}{n+1}|a_n|^2, \ \ \sum _{n \neq -1} \frac{r^{2n+2}}{n+1}|a_n|^2$$ we have $R' \ge R ^ 2$,

y del mismo modo, $ and radii of convergence are $ $

Así que las dos series tienen radios de convergentce $R'=\frac{1}{\limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{|a_n|^2}{n+1}}} \ge \frac{1}{\limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|^2}} \ge \frac{1}{\limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}^2 = R^2,$, suponiendo que tienen la forma $ so $ $$r' = \limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{|a_{-n}|^2}{n+1}} \le \limsup_ {n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_{-n}|^2} \le r^2.$ o $R', r'$.

¿Eso hace sentido? ¿Podría decirme cómo probar la igualdad de la integral y la serie?

Answer 1

Suponga $z_0 = 0$. Escribo $A_{r,R}(0)$ por su anillo.

Para integrar sobre el anillo, primero vamos a empezar por parametrización un. Deje $u: [0,1]^2 \to A_{r,R}(0)$$ u(s,t) := (r + s(R-r))e^{2 \pi i t}$. Es fácil comprobar que el Jacobiano de esta parametrización es $2 \pi (R-r)( r + s(R-r))$.

Ahora $$\displaystyle{\int_{A_{r,R} (0)} g(z) := \int_{[0,1]^2} g(u(s,t)) \text{Jac(u(s,t))} \text{ds dt} }$$.

Que es,

$ \displaystyle{2 \pi (R-r) \int_{[0,1]} (r + s(R-r))\int _{[0,1]}\left(\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \left(r + s(R-r) \right)^n e^{2 \pi i t n} \right)\cdot \overline{\left(\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \left(r + s(R-r) \right)^n e^{2 \pi i t n} \right)} \text {dt ds}} $

(*)

Tenga en cuenta que, para $k \in \mathbb{Z}$,

$\displaystyle{\int_{[0,1]} e^{2 \pi i t k} dt = 0} $ si $k \ne 0$ y es igual a $1$, cuando se $k=0$.

Lo que significa,

$\displaystyle{\int _{[0,1]}\left(\sum_{n \in\mathbb{Z} } a_n \left(r + s(R-r) \right)^n e^{2 \pi i t n} \right)\cdot \overline{\left(\sum_{n \in\mathbb{Z}} a_n \left(r + s(R-r) \right)^n e^{2 \pi i t n} \right)} \text {dt}}$

$\displaystyle{= \int_{[0,1]}\left ( \sum _{n \in \mathbb{Z}} a_n (r + s(R-r))^n e^{2 \pi i t n} \right )\cdot \left( \sum _{n \in \mathbb{Z}} \overline{a_n} (r + s(R-r))^n e^{-2 \pi i t n} \right )} \text {dt}$

$\displaystyle{=\sum _{n \in \mathbb{Z}} |a_n|^2 (r + s(R-r))^{2n}}$.

Por lo tanto, ahora el original de la integral (*) se convierte,

$$\displaystyle{2 \pi (R-r) \int_{[0,1]}\sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_n|^2 (r + s(R-r))^{2n+1} \text{ds}}$$

Convergencia uniforme de la potencia de serie en el interior del anillo nos permite cambiar de la suma y la integración, lo que da

$$\displaystyle{2 \pi (R-r) \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{[0,1]}|a_n|^2 (r + s(R-r))^{2n+1} \text{ds}}$$.

Esto es fácil de integrar y le da la necesaria respuesta, yo.e $$ \pi \sum _{n \neq -1} \frac{R^{2n+2} - r^{2n+2}}{n+1}|a_n|^2 + 2 \pi \log \frac{R}{r}|a_{-1}|^2$$