Demostrando que la localización es un functor exacto

Question

Me encuentro de nuevo en esta situación terriblemente familiar en la que estoy luchando para demostrar enunciados sencillos sobre todo porque no tengo ni idea de cómo debería ser una plantilla de una prueba en este contexto específico.

Intento demostrar estas dos afirmaciones:

1. Dado un subconjunto multiplicativo de un anillo $S \subset R$ . El functor de localización de $R-Mod$ a $S^{-1}R-Mod$ definido por: $$M \mapsto S^{-1}M ,\phi \mapsto S^{-1}\phi=(\frac{m}{s} \mapsto \frac{\phi(m)}{s}) $$ Preserva la homología de todos los complejos.

2. Sea $A \to B \to C$ sea un complejo en $R-Mod$ . Si toda localización por ideales primos $\mathfrak p \subset R$ escriba a $A_{\mathfrak p} \to B_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}$ exacto en $R_{\mathfrak p} -Mod$ entonces $A \to B \to C$ es exacta.

Mi problema actual con ambas preguntas es que sigo confundiéndome con los elementos de torsión de los módulos y si los anhiladores intersecan el conjunto multiplicativo estoy totalmente atascado...

Creo que en parte se trata de una barrera lingüística, por lo que agradecería mucho que quien responda a esta pregunta dé una respuesta detallada que demuestre un uso correcto y elegante del lenguaje y las herramientas pertinentes en este contexto.

Answer 1

Basta con demostrar que preserva las secuencias exactas cortas: $\;0\to M\to N\to P\to 0$ . Como el producto tensorial es exacto, y $S^{-1}M\simeq M\otimes_A S^{-1}A$ incluso basta con demostrar que preserva la inyectividad.

Consideremos un morfismo inyectivo $\varphi\colon M\to N$ y supongamos $\;(S^{-1}\varphi)\Bigl(\dfrac ms\Bigr)=0$ en $S^{-1}N$ . Esto significa que existe $t\in S$ tal que $\;t\mkern1mu\varphi(m)=\varphi(tm)=0$ . Pero entonces $$\frac ms=\frac{tm}{ts}=\frac0{ts}=0,$$ que muestra $\;S^{-1}\varphi\;$ es inyectiva.