Subgrupo de sylow cíclico de orden 9 con 3 núcleos de orden 3

Question

Puede un grupo finito G tiene un ciclo Sylow 3-subgrupo de orden 9, de tal manera que la intersección de la Sylow 3-subgrupos de G tiene orden de exactamente 3, sin tener la no-identidad normal subgrupos de orden coprime a 3?

En la clasificación de los grupos finitos con cíclico Sylow 3-subgrupos de orden 9, parece razonable dividir en los casos en función del tamaño de la 3-núcleo (la intersección de la Sylow 3-subgrupos) mod 3'-core (el mayor subgrupo normal de orden coprime a 3). 3-los Núcleos de los tamaños 1 y 9 son fáciles de manejar, pero el tamaño 3 se transforme en un número de casos, ninguno de los cuales parece que funciona, pero para no sistemática de la razón.

Hay algunos sistemática de la razón por la que no puede ocurrir, o es que hay un ejemplo que he pasado por alto?

Edit: El original a la izquierda la importancia de la condición normal de los subgrupos de orden coprime a 3, sin que la clasificación es intratable. Alex de la respuesta se muestra cómo utilizar tales normal subgrupos a ser bastante arbitrario comportamiento (para cualquier tipo de Sylow).

Edit 2: Si el ideal de residuo X del grupo es trivial, contiene Ω(P) de la cíclico de Sylow p-subgrupo de P, y por lo O_p(G) ≤ S de_p(X). En este caso, O_p(X) = 1. Por lo tanto, el grupo es solucionable, y Ajuste(G) = O_p(G), por lo que G/Ajuste(G) ≤ Aut(p) = p−1 tiene el orden equivocado.

Answer 1

Estos grupos son fáciles de construir: Ley de $C_9$ que algo a través de un cociente de % de $C_3$. Por ejemplo, construir el producto semi directa $C_7\rtimes C_9$ tales actos que $C_9$ $C_7$ a través el automorfismo único de orden 3. Luego, el 3-subgrupos de Sylow no son normales, por lo que hay más de uno de ellos, pero hay un único $C_3$, que es el centro de $G$.