Prueba interior de un espacio métrico $E$ está abierto

Question

Si $E^{\circ}$ denota el conjunto de los puntos del interior de $E$, demuestran $E^{\circ}$ está abierto.

Mi intento: Si $x\in (E^{\circ})^c$ $x$ no es un punto interior de a $E$. Por lo tanto, no hay barrio de $x$ está completamente contenida en $E$ y por lo tanto todos los barrios de $x$ contienen un punto de $p\in E^c \subset (E^{\circ})^c$, por lo tanto $x$ es un punto límite de $(E^{\circ})^c$ por lo tanto $(E^{\circ})^c$ es cerrado y $E^{\circ}$ está abierto.

Hay algo mal con esta prueba? Lo pregunto porque todas las pruebas que he visto de este hecho de evitar el uso de este argumento, que de alguna manera plantea dudas acerca de su validez, dado que es tan simple como el resto de los argumentos utilizados.

Answer 1

Su argumento es perfectamente bien pero es más cumbersum. La apertura de $E^\circ$ puede ser probada directamente sin invocar encierro:

Ya que $E^\circ$ es un barrio (contiene un balón) de todos sus puntos, $E^\circ$ está abierto.