¿Cómo evaluar la integral de $\exp(-x^2-1/x^2)$ $(0,+\infty)$?

Question

Pregunta: integral de $\exp(-x^2-1/x^2)dx$ $0$ hasta el infinito.

Creo que la respuesta es raíz cuadrada de $ \pi/2 \cdot \exp(-2)$. Si cambio de $-x^2-1/x^2$ $-(x-1/x)^2-2$ entonces la integral anterior se convierte en $\exp(-2) \cdot$ integral de $\exp(-(x-1/x)^2)dx$ $0$ hasta el infinito.

integral de $\exp(-x^2)dx$ $0$ hasta el infinito = raíz cuadrada de $\pi/2$, pero entonces es la

¿integral de $\exp(-(x-1/x)^2)dx$ $0$ hasta el infinito = integral de $\exp(-x^2)dx$ $0$ hasta el infinito?

Answer 1

La integral que se desea evaluar es $\mathrm e^{-2}I$, donde $I=\int\limits_0^{+\infty}\mathrm e^{-(x-1/x)^2}\mathrm dx$. Debemos calcular $I$. Rendimientos del cambio de la variable $z=1/x$ $z\gt0$ y $\mathrm dz=z^2\mathrm dx$, por lo tanto, $I=\int\limits_0^{+\infty}\mathrm e^{-(z-1/z)^2}\mathrm dz/z^2$. Sumando estas dos expresiones de $I$, uno consigue $2I=\int\limits_0^{+\infty}\left(1+1/x^2\right)\mathrm e^{-(x-1/x)^2}\mathrm dx$. El cambio de la variable $u=x-1/x$ $u$ en la línea verdadera entera y $\mathrm du=\left(1+1/x^2\right)\mathrm dx$, por lo tanto los rendimientos $2I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-u^2}\mathrm du$. Finalmente, esta última integral es $\sqrt\pi$, por lo tanto $$ \color{red}{\int\limits_0^{+\infty}\mathrm e ^ {-x ^ 2-1/x ^ 2} \mathrm dx = \frac {\sqrt\pi} {2\mathrm e ^ 2}}. $$