¿Por qué es $\mathcal{O}_K$ el anillo para ser considerado para la descomposición en factores números enteros?

Question

Para $K = \mathbb{Q}[\alpha]$ ($\alpha$ algebraicas sobre $\mathbb{Q}$), entiendo que $\mathbb{Z}[\alpha]$ puede ser demasiado gruesa, y que $\mathcal{O}_K$ (los enteros algebraicos de $K$) permite más precisa factorizations en irreductible (no necesariamente prime) factores.

Pero yo no entiendo por qué $\mathcal{O}_K$ es de los mejores sub-anillo de $K$ que se considera. ¿Por qué es la definición de un entero algebraico: tiene una monic mínima polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ ? ¿Por qué no hay más números algebraicos de $K$ interesante para la factorización ? ¿Por qué debería el conjunto de los números considera ser un anillo (ya que sólo la multiplicación de la materia) ?

Por ejemplo, $7 = \frac{5 + \sqrt{-3}}2 \cdot \frac{(5 - \sqrt{-3})}2$ es "correcto" de la factorización, mientras que $7 = \frac{7}2 \cdot 2$ es "impropio". ¿Cómo puede una "adecuada" de la factorización de ser caracterizado ? ¿Cómo funciona esta caracterización definir $\mathcal{O}_K$ ? Yo soy así, en busca de una alternativa (y lo más probable es equivalente a) la definición de la $\mathcal{O}_K$, basado en la idea de "adecuada" de la factorización.

Preguntas relacionadas con: Lo esencial es el hecho de que los enteros de $K$ son una finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulo ? Si $f$, un monic polinomio en $\mathbb{Z}$[X], tiene un monic factor en $K[X]$, hace que este factor ya pertenecen a $\mathcal{O}_K[X]$ ?

Answer 1

No estoy seguro de que me puede dar una respuesta exhaustiva, pero voy a tratar de explicar las cosas que se me ocurrió al leer tu pregunta.

1. ¿Por qué consideramos a $\mathcal{O}_K$ en lugar de $\Bbb{Z}[\alpha]$? Esto es en parte debido a $\mathcal{O}_K$ es "bien definido". Hay muchos enteros algebraicos $\beta\in K$ tal que $K=\Bbb{Q}(\beta)$. Así que de los $\beta$s deberíamos utilizar? Se puede (y!) conducen a los diferentes anillos de $\Bbb{Z}[\beta]$, lo cual significa que el anillo no sería un invariante del campo $K$. Cuando subimos a $\Bbb{O}_K$ tomamos la unión de todos los anillos de $\Bbb{Z}[\beta]$! Esto es sin duda más democrática! También un mejor comportamiento en el sentido de que el resultado sólo depende del campo $K$ más que en el camino nos pasó a construir!
2. ¿Por qué queremos ver sólo los anillos? La razón de esto no estaba claro de inmediato antes en la historia, y en realidad es bastante delicada. Cuando se mira en factorizations tenemos problemas como los siguientes. Considere la posibilidad de $K=\Bbb{Q}(\sqrt{-5})$ al $\mathcal{O}_K=\Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$. En este anillo tiene factorizations como $2\cdot3=6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$. Por otra parte, ninguno de $2,3,1\pm\sqrt{-5}$ divide aún más en los factores de menor tamaño. Para lidiar con tal de no-unicidad de factorizations Kummer introdujo por primera vez los llamados los números ideales. Que era torpe para trabajar con, y fue rápidamente reemplazar por el concepto de ideales (compruebe que WP página para obtener más información sobre la historia). Resultó que el uso de ideales que recibe una mejor teoría de la factorización. Pero, los ideales de la necesidad de un ambiente anillo!
3. Por qué no considerar más grande subrings de $K$? Podemos, y a veces hacemos! Pero cuando hacemos que muchos de los números primos de la deserción de la imagen. Esta muestra ya en el nivel de $\Bbb{Z}$. Si en lugar de que la sub-anillo de $\Bbb{Q}$ utilizamos un anillo más grande como $$\Bbb{Z}[1/2]=\{\frac{m}{2^k}\mid m,k\in\Bbb{Z}\},$$ lo que sucede es que, en un sentido $2$ deja de ser un prime. Se convierte en una unidad en su lugar. Por lo tanto, los números primos del anillo de $\Bbb{Z}[1/2]$$3,5,7,\cdots$. Una forma común de utilizar este tipo de anillos es aislar el estudio de lo que se llama un caso local, cuando sólo tenemos un único primer restantes. Un ejemplo de un anillo sería $$\Bbb{Z}_{(2)}=\{\frac{m}{n}\mid m, n\in\Bbb{Z}, \text{$n$ odd}\}.$$ En este anillo se $2$ es el único resto de la prime. Si $p>2$ es un número primo, entonces $1/p$ es un elemento de este anillo, por lo que se ha convertido en una unidad! Algo Similar se hace a menudo para construir máxima subrings de $K$.
4. Por qué no permitir que factorizations como $7=\dfrac72\cdot2$? Si lo hacemos dentro de un anillo, entonces $\dfrac12=\dfrac72-3$ también debe ser incluido. Esto significa que en realidad estamos trabajando con el anillo de la $\Bbb{Z}[1/2]$. Lo que significa que $2$ deja de ser una de las primeras. Así que, como en el anterior, podemos hacer esto, pero luego bajamos $2$ fuera de nuestra lista de números primos.

Nada de esto es probablemente muy convincente. El resultado de todo esto es que haciéndolo de esta manera, nos dio una buena teoría. Los conceptos han evolucionado, y nada útil, me han dicho que tiene la ventaja de una retrospectiva 20/20.

Answer 2

En primer lugar, la noción de factorización que queremos no es el de la factorización de los elementos del anillo, pero ideales.

Un relevante la noción abstracta es la de un Dedekind de dominio — un anillo donde cada^* ideal distinto de cero (factores de forma única!) en un producto de primer ideales.

Si $K$ es un campo de número, su anillo de enteros es el más pequeño sub-anillo con las propiedades que:

• $\mathcal{O}_K$ es un dominio de Dedekind
• $K$ es la fracción de campo de $\mathcal{O}_K$

Si el estudio de todos los subrings de $K$, usted encontrará que la descripción de los ideales de esos anillos se relacionan con los ideales de $\mathcal{O}_K$:

• Si usted incluye cosas que no son algebraicas de los números enteros, verás que el resultado de anillo es que faltan los ideales que corresponden a los factores del denominador
• Si no se incluyen todos los enteros algebraicos, usted encontrará que algunos de los ideales son defectuosos, y pasando a la integral de cierre (que incluirá todos los enteros algebraicos) resuelve esos defectos.

De hecho, hay un campo de la teoría de la descripción. En los números racionales, los exponentes de primer factorizations en relación a los enteros son ejemplos de discretos valoraciones en $\mathbb{Q}$.

De hecho, cada discreta valoración corresponde a un primer de $\mathbb{Z}$, e $\mathbb{Z}$ es caracterizado como el sub-anillo de elementos $x \in \mathbb{Q}$ con la propiedad de que $v(x) \geq 0$ por cada discreta valoración $v$.

Lo mismo es cierto en los campos de número; $\mathcal{O}_K$ es, precisamente, el de los elementos $x \in K$ $v(x) \geq 0$ por cada discretos de valoración. Y cada discreta valoración corresponde a un primer ideal de $\mathcal{O}_K$.

_{*: La unidad ideal es el vacío del producto}

Answer 3

En matemáticas, se puede definir cualquier cosa, incluso cosas que realmente no existen. Independientemente de la existencia de lo que hemos definido puede ser probado o no, podría ser un tema de debate abierto de si su definición es útil o, al menos, interesante.

En el ejemplo de la factorización de 7 $\mathbb Z[\omega]$, donde $$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2},$$ how would we define a ring "larger" than $\mathbb Z[\omega]$ que dos veces de siete mitades es válido para la factorización de 7 en irreducibles?

Claramente $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ no, porque entonces $$7 = 2 \times \frac{7}{2} = 2^2 \times \frac{7}{4} = 2^3 \times \frac{7}{8} = 2^4 \times \frac{7}{16} = \ldots$$ Actually, 2 can also be broken down further in $\mathbb Q(\sqrt{-3})$, but this is enough to make the point that $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ no es el anillo que estamos buscando.

En un anillo, los números 2, siete mitades, $$\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{-3}}{2}, \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}$$ might become irreducible but not prime, and that's okay. We should still have the expectation that if we divide any of these numbers by a unit (such as $\omega$ sería todavía) el resultado sería un número que también está en el ring.

Y así tenemos $$\frac{2}{\omega} = -2 \omega,$$ $$\frac{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{-3}}{2}}{\omega} = -2 - \sqrt{-3},$$ $$\frac{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}}{\omega} = -\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{-3}}{2}$$ and $$\frac{\frac{7}{2}}{\omega} = -\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{-3}}{4}.$$ Purely for my own convenience, I label the last of these four numbers $\theta$.

Los tres primeros de estos no suponen ningún problema, ya que ellos también están en la $\mathbb Z[\omega]$, pero $\theta$ es claramente no. Tal vez hay una manera de definir un anillo tal que $\theta$ pertenece en él y el proceso de factorización en irreducibles, eventualmente, puede llegar a una conclusión.

Pero estoy empezando a perder el interés, y empezando a sentirse a la deriva en el plano complejo. La solución de la ecuación de $4x^2 + 14x + 49$ no le parece que es interesante para mí ahora. La solución de $x^2 - 5x + 7$ no me interesa, aunque hay un montón de gente que no importa la solución para que un bien.