¿Por qué todos los círculos pasando por $a$y $1/\bar{a}$ con $|z|=1$ son ángulos rectos?

Question

En el plano complejo, puedo escribir la ecuación de un círculo centrado en$z$$|z-x|=r$, lo $(z-x)(\bar{z}-\bar{x})=r^2$. Supongo que tanto $a$ $1/\bar{a}$ mentira en este círculo, por lo tanto, obtener la ecuación $$ (z-a)(\bar{z}-\bar{a})=(z-1/\bar{a})(\bar{z}-1/a). $$

Mi idea es mostrar que los círculos se intersectan en ángulos rectos, es para mostrar que los radios en el punto de intersección en ángulo recto, que es el caso cuando la suma de los cuadrados de las longitudes de los radios de los círculos es el cuadrado de la distancia al centro del círculo que pasa a través de$a$$1/\bar{a}$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar un aplicables situación, ya que no creo que no existe un único círculo que pasa a través de $a$ $1/\bar{a}$ a hacer un centro de trabajo. ¿Cuál es la manera correcta de hacerlo?

Answer 1

Esta es una propiedad básica de la Inversión de un punto a través de un círculo.

Suponga que se dan un círculo de radio $r$ centro $O$ (llamado el círculo de referencia) y un punto de $P$ no en el círculo, entonces la inversa de a $P$ con respecto al círculo de referencia está dado por el punto de $P'$ que es colineal con $O$ $P$ (en el rayo $\overrightarrow{OP}$) tal que $OP \times OP' = r^2$. Puntos en el círculo obtener asignan a sí mismos.

Una propiedad de inversión es que un círculo ortogonal para el círculo de referencia es su propia inversa y un círculo que es su propia inversa es ortogonal al círculo de referencia.

Esto se deduce fácilmente a partir de la Intersección de Secantes Teorema (vea el enlace para ver un buen applet), cuya prueba sólo utiliza el hecho de que el ángulo subtendido por un acorde en cualquier punto de la mayor(menor) del arco de la circunferencia es constante, y por lo tanto los triángulos formados son similares. Una prueba puede ser encontrado aquí. Estas pruebas son muy sencillas y no requieren de ningún engorroso geometría analítica y es la que se enseña en la escuela secundaria, cursos de geometría.

Ahora $a$ $\frac{1}{\overline{a}}$ inverso de puntos con respecto a la circunferencia $|z| = 1$, por lo que cualquier círculo que pasa por esos dos puntos es su propio inverso (por qué?), y como consecuencia de ello, es ortogonal a la unidad de círculo.

Answer 2

Basándose en la respuesta de Isaac, creo que usted puede obtener la identidad que buscas haciendo esto:

\begin{eqnarray*} 1+|c-a|^2 &=& 1+(c-a)(\overline{c}-\overline{a})\\ &=& 1+|c|^2+|a|^2-2\operatorname{Re}(c\overline{a}) \\ &=& 1+|c|^2+|a|^2-2\operatorname{Re}\left[\overline{a}\left(\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{\overline{a}}\right)+ik\left(a-\frac{1}{\overline{a}}\right)\right)\right] \\ &=& 1+|c|^2+|a|^2-2\operatorname{Re}\left[\frac{1}{2}\left(|a|^2+1\right)+ik\left(|a|^2-1\right)\right]\\ &=& 1+|c|^2+|a|^2-2\left[\frac{1}{2}(|a|^2+1)\right] \\ &=& 1+|c|^2+|a|^2-|a|^2-1 \\ &=& |c|^2 \end{eqnarray *}

Answer 3

Estás en lo correcto de que no hay un único círculo que pasa a través de$a$$\frac{1}{\bar{a}}$, pero el centro de un círculo tiene que ser equidistante de los dos puntos, por lo que en la mediatriz del segmento entre ellos. Un punto puede ser descrito por $$c=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{\bar{a}}\right)+ki\left(a-\frac{1}{\bar{a}}\right)$$ for some $k\in\mathbb{R}$ (that's the midpoint of the segment plus a scalar multiple of a $\frac{\pi}{2}$-rotation of the vector along that segment). This can be simplified to $$c=\frac{1}{2}\left(a(1+2ik)+\frac{1}{\bar{a}}(1-2ik)\right).$$ El radio del círculo es de $$\begin{align} r=|c-a|&=\left|\frac{1}{2}\left(a(1+2ik)+\frac{1}{\bar{a}}(1-2ik)\right)-a\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|a(-1+2ik)+\frac{1}{\bar{a}}(1-2ik)\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|\frac{1}{\bar{a}}\left(a\bar{a}(-1+2ik)+(1-2ik)\right)\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|\frac{1}{\bar{a}}(1-a\bar{a})(1-2ik)\right| \\ &=\frac{1}{2}\left|\frac{1}{\bar{a}}\right|\cdot|1-a\bar{a}|\cdot|1-2ik| \\ &=\frac{|1-a\bar{a}|}{2|a|}\sqrt{4k^2+1} .\end{align}$$ Así que ahora, como usted sugiere, podemos usar el recíproco del Teorema de Pitágoras: si la suma de los cuadrados de los radios del círculo unidad y nuestro nuevo círculo es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros, entonces se encuentran en ángulos rectos. Mathematica me dice que el álgebra funciona y es cierto, pero yo no puedo ir por su lado. A continuación es lo que he conseguido hasta ahora. $$\begin{align} \text{sum of squares of radii}&=1^2+\left(\frac{|1-a\bar{a}|}{2|a|}\sqrt{4k^2+1}\right)^2 \\ &=1+\frac{(1-a\bar{a})^2}{4a\bar{a}}(4k^2+1) \end{align}$$

$$\begin{align} (\text{distance }&\text{between centers})^2=|c-0|^2 \\ &=\left|\frac{1}{2}\left(a(1+2ik)+\frac{1}{\bar{a}}(1-2ik)\right)\right|^2 \\ &=\frac{1}{4}\left|a(1+2ik)+\frac{1}{\bar{a}}(1-2ik)\right|^2 \\ &=\frac{1}{4|\bar{a}|^2}|a\bar{a}(1+2ik)+(1-2ik)|^2 \\ &=\frac{1}{4a\bar{a}}|a\bar{a}(1+2ik)+(1-2ik)|^2 \end{align}$$