Heurística argumento para el teorema de los números primos?

Question

Aquí es un mal argumento heurístico para el teorema de los números primos. Deje que n sea un entero positivo y asumir que PNT tiene hasta n. Entonces n en sí es primo si y sólo si para cada primer p<n el caso en que p|n no lleva a cabo. Asumiendo que todos estos eventos son independientes, la probabilidad de que n es primo debe ser de alrededor de $\prod_{p<n}(1-1/p)$. Menos el logaritmo de esto es aproximadamente el $\sum_{p<n}1/p$. Desde el rth prime es acerca de $r\log r$ (PNT), esto es acerca de la $\sum_{r<n/\log n}1/r\log r$, que es acerca de $\log\log n$. Por lo tanto, la probabilidad de que $n$ es primo es acerca de $\exp(-\log\log n)$,$1/\log n$.

Aquí están algunas críticas al argumento anterior. La más evidente problema es que para las aproximaciones para ser válido, necesitamos que nuestras estimaciones a corregir o(1), y no lo son. Por ejemplo, se sabe que $\sum_{p<n}1/p$ no $\log\log n+o(1)$ sino $\log\log n+M$, donde M es el Meissel-Mertens constante. Podemos romper este fracaso en dos subfailures. El primero es el que menos el logaritmo de $\prod_{p<n}(1-1/p)$ difiere de $\sum_{p<n}1/p$ por un no-cero constante (más o(1)). La segunda es que menos el logaritmo de $\prod_{p<n}(1-1/p)$ difiere de $\log\log n$ $\gamma+o(1)$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

El segundo problema es más devastador, ya que muestra que la independencia suposición es errónea. (Todo lo que he dicho, por cierto, es un conocido y, a menudo, señaló la observación.) Mi pregunta es si, a pesar de todos estos problemas, algún tipo de heurística argumento como este puede ser recuperado. Por ejemplo, es claro que si p y q son dos números primos que son bastante grandes y bastante cerca, entonces habrá una repulsión entre los eventos p|n y p|n. Podemos decir de forma heurística cuáles son los efectos de estos repulsión debe ser, y por lo tanto entender que el $\gamma$ llega?

Para que quede claro, estoy buscando una manera sencilla y no riguroso argumento de que no utilice la función zeta (excepto, quizás, haciendo uso de la fórmula del producto en una forma muy elemental, pero prefiero evitar por completo) que predice que si PNT tiene hasta n, entonces la probabilidad de que n es primo debe ser de alrededor de $1/\log n$. Mi pregunta es porque estoy bastante seguro de que la respuesta va a ser conocido, y bastante estándar, para muchas personas. Simplemente no es para mí.

Answer 1

Usted puede mirar en el Courant y Robbins en la sección al final, "El Primer Número Teorema Obtenidos por Métodos Estadísticos".

También, hay un artículo de Montgomery y el Carro, en el que se menciona el "Mertens Paradoja" y extender el argumento de Courant y Robbins.

Answer 2

Yo no soy un experto en esta área, pero esto puede ser un comienzo.

En lugar de $\prod_{p\lt n}$, puede utilizar $\prod_{p\le \sqrt n}$.

$\log\log \sqrt n + \gamma \lt \log\log \sqrt n +\log 2 = \log\log n $

Que te lleva un poco más de cerca, ya que ahora están fuera por $\log 2 - \gamma \approx 0.116$.

La heurística probabilidad de que $n$ es prime no es

$$\prod_{p\lt n} (1-Pr(p|n))$$

Es el producto de las probabilidades

$$\prod_{p\lt n} (1-Pr(p|n \text{ given no smaller prime divides } n))$$

Para $p$ pequeñas, el término que recibe puede estar cerca de $(1-1/p)$, pero yo que no es el caso de $p$ grandes.

Para $\sqrt n \lt p$, el término correspondiente a $p$ en el producto es $1$.

Para $\sqrt[3]n \lt p \le \sqrt n$ si $p$ es el más pequeño de primer dividiendo $n$, $n/p$ debe ser un primo, también. Tal vez eso significa que por la fuerte inducción, debemos de descuento en estos términos por la probabilidad de $n/p$ es primo, acerca de $1/\log \frac np$, por lo que los términos en que el producto se $(1-1/(p \log \frac np))$.

Parece que usted consigue algunas sumas/integrales si intenta extender a más de un término, y no sé si usted puede esperar para obtener la precisión deseada en la final.