Biyección de partición

Question

No estoy seguro de lo que estoy perdiendo. Creo que pienso demasiado sobre como encontrar este bijection. Por favor ayuda!

Answer 1

Cualquier partición de $n$ en $4$ de las piezas debe tener cada parte no más grande que $n-1$. Pero %#% $ #% por lo que el número de particiones de $$a+b+c+d=3n \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ (n-a)+(n-b)+(n-c)+(n-d)=n,$ $3n$ partes, cada una entre $4$y $1$, equivale al número de particiones de $n-1$ en $n$ partes, cada una entre $4$y $1$.

Answer 2

Comenzar con el diagrama de Ferrers de la partición de $n$. Cojín de cada fila con suficientes puntos para hacer una matriz de $4\times n$ de puntos. Retire el original diagrama de Ferrers y girar la matriz de puntos añadidos $180^\circ$; el resultado es el diagrama de Ferrers de una partición de $3n$ en $4$ partes, cada una de tamaño más $n-1$. Verificar que todas esas particiones de $3n$ se obtienen de esta manera.

(Esta es la versión visual del argumento de David Moews).