Una calculadora es rota por lo que las claves sólo que siguen funcionan son las funciones trigonométricas e inversas trigonométricas las funciones básicas

Question

Una calculadora es roto por lo que la única clave que todavía funcionan son los $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$, $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, y $\tan^{-1}$ botones. La pantalla muestra inicialmente 0. (Suponga que la calculadora hace real el número de cálculos con precisión infinita. Todas las funciones son en términos de radianes.)

(a) Encontrar, con la prueba, una secuencia de botones que se va a transformar $x$ a $\frac{1}{x}$.

(b) Encontrar, con la prueba, una secuencia de botones que se va a transformar $\sqrt x$ a $\sqrt{x+1}$.

(c) Demostrar que existe una secuencia de botones que se producirá $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

Esta es una continuación de un problema hace un tiempo. Me han resuelto las partes, a y b, pero c es un reto.

(a) sabemos que $\tan(\arctan(x))= x$, por lo que invertir la ecuación, se obtiene $\frac{1}{\tan(\arctan(x))}=\boxed{\cot(\arctan(x))}$

(b) podemos resolver esto mediante la derecha-triángulo de la trigonometría. Con las piernas, 1 y $\sqrt{x}$, la hipotenusa sería $\sqrt{x+1}$. Tener $\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, habría que escribir como $\cos(\arctan(\sqrt{x}))$. Para transformar $\sqrt{x}$ ot $\sqrt{x+1}$, tendría $\frac{1}{\cos(\arctan(\sqrt{x}))}$. De la parte (a), podemos encontrar el recíproco de nada. Todo lo que necesitamos es la recíproca de la que es $\boxed{\cot(\arctan(\cos(\arctan(\sqrt{x})))}$

¿Cómo podemos resolver c cuando la pantalla inicial es 0?

Answer 1

Las inversas de la funciones $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ y $\sqrt{x} \mapsto \sqrt{x+1}$ son $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ y $\sqrt{x} \mapsto \sqrt{x-1}$.

Que $A$ denotan la operación $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ y $B$ denotan la operación $\sqrt{x} \mapsto \sqrt{x-1}$.

Vamos a trabajar hacia atrás desde $\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{9}{5}}$ con $B$ si el número es mayor o igual a $1$ y $A$ si el número es menor que $1$:

$\sqrt{\dfrac{9}{5}} \overset{B}{\to} \sqrt{\dfrac{4}{5}} \overset{A}{\to} \sqrt{\dfrac{5}{4}} \overset{B}{\to} \sqrt{\dfrac{1}{4}} \overset{A}{\to} \sqrt{4} \overset{B}{\to} \sqrt{3} \overset{B}{\to} \sqrt{2} \overset{B}{\to} \sqrt{1} \overset{B}{\to} \sqrt{0} = 0$.

Ahora, comienzan con $0$ y aplicar el % de operaciones $B^{-1}$, $B^{-1}$, $B^{-1}$, $B^{-1}$, $A^{-1}$, $B^{-1}$, $A^{-1}$, $B^{-1}$ en ese orden para obtener $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$

Answer 2

B uso cuatro veces para obtener $\sqrt{4}$. Utilice luego A conseguir $\sqrt{\frac{1}{4}}$. Luego usar B para obtener $\sqrt{\frac{5}{4}}$. Utilice luego A conseguir $\sqrt{\frac{4}{5}}$. Luego usar B para obtener $\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$