Sea $f:[a,b) \rightarrow \mathbb R$ Riemann integrable en cada subinterval compacto de $[a,b)$ y limitada en $[a,b)$. Sea $g:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ % de la extensión arbitraria $f$(es decir, $g|_{[a,b)}=f$). ¿Por qué $g$ es Riemann integrable en $[a,b]$?
Respuestas
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Tenemos que usar el siguiente teorema por Lebesgue.
Teorema (de Lebesgue) Un almacén de $ \mathbb{R} $-función con valores de $ f $ definida en un intervalo cerrado es Riemann-integrable si y sólo si el conjunto de discontinuidades de $ f $ tiene una medida de $ 0 $.
Deje $ D^{f} $ denota el conjunto de discontinuidades de $ f $$ [a,b) $. A continuación, vamos a $ (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser estrictamente creciente secuencia en la $ [a,b) $ tal que $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = b $. Para cada una de las $ n \in \mathbb{N} $, definir $$ D^{f}_{n} \stackrel{\text{def}}{=} \{ x \in [a,b_{n}] ~|~ \text{$ f|_{[a,b_{n}]} $ es discontinua en a $ x $} \}. $$
Para cada una de las $ n \in \mathbb{N} $, como lo hemos asumido $ f $ es Riemann-integrable en $ [a,b_{n}] $, Lebesgue del Teorema de los rendimientos $ \mu(D^{f}_{n}) = 0 $. Por lo tanto, $$ 0 \leq \mu(D^{f}) = \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} D^{f}_{n} \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(D^{f}_{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0, $$ lo que nos da $ \mu(D^{f}) = 0 $.
Ahora, extender $ f: [a,b) \to \mathbb{R} $$ g: [a,b] \to \mathbb{R} $, la cual está acotada. No es difícil ver que el conjunto de discontinuidades de $ g $ es el conjunto $ D^{f} $, además de, posiblemente, el punto de $ b $ sí. Como tal, el conjunto de discontinuidades de $ g $ tiene una medida de $ 0 $. Mediante la aplicación del Teorema de Lebesgue una vez más, llegamos a la conclusión de que $ g $ es Riemann-integrable en $ [a,b] $.
Calum Gilhooley
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A continuación se presenta lo que se va a ser el texto de una nueva pregunta, "Delimitada la función con impropias integrales sobre intervalos finitos también ha adecuada integral?" hasta que me descubrió tardíamente que era una exacta duplicado de éste. (Yo podría haber jurado que había buscado en Google a fondo antes de consultar a todos mis análisis de libros de texto! Nunca la mente.)
Estoy de juego de azar que es menos de una infracción de la etiqueta ha añadido el irrelevante "prueba de verificación de la' etiqueta a esta vieja cuestión de lo que habría sido preguntado una pregunta totalmente nueva. Si no, por favor disculpe, soy un novato, tratando de no meter la pata hasta aquí!
Sólo quiero comprobar mi razonamiento en este punto sutil, que me inconscientemente, se restó importancia al intentar responder a otra reciente pregunta, y que, además, no se menciona en ninguno de los muchos los libros de texto estándar que posteriormente consultados. $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\renewcommand{\phi}{\varphi}$
Supongamos que (i) la función de $f: [a, b] \to \R$ es acotado, y (ii) el impropia de Riemann integral $\int_{a+}^b f = \lim_{\epsilon \to 0+} \int_{a + \epsilon}^b f$ existe. Mi reclamo es que la integral de Riemann $\int_a^b f$ también existe, y es igual a la integral impropia $\int_{a+}^b f$.
(El cambio de las variables de $x \mapsto a + b - x$ rendimientos el corolario que la existencia de $\int_a^{b-} f = \lim_{\epsilon \to 0+} \int_a^{b - \epsilon} f$ implica la existencia de $\int_a^b f$, con el mismo valor.)
La cosa más cercana a la de cualquier mención de este hecho es que en el Ejercicio 6.7(a) de Rudin los Principios de Análisis Matemático (3ª ed.): pero que es mucho más fácil, porque se planta la hipótesis de Riemann-integrabilidad, mientras que yo sólo la hipótesis de acotamiento.
El uso de Lebesgue del criterio de Riemann-integrabilidad para reducir el el problema para el caso considerado por Rudin (el conjunto de discontinuidades de $f$ $[a, b]$ es la unión de los conjuntos de discontinuidades de $f$ $[a + \frac{b - a}{n}, b]$ , y así tiene medida cero) constituyen excesivo de la fuerza, me siento. Una prueba a partir de primeros principios es deseable.
[Que fue escrito en la ignorancia de la existencia de este hilo, y no como una excavación en la otra respuesta!]
Aquí es una prueba, creo que:
Deje $M$ ser cualquier límite superior de $\{\abs{f(x)}: a \leqslant x \leqslant b\}$ tal que $2M(b - a) > 1$. Para $n = 1, 2, \ldots$, vamos a $\epsilon_n = \frac{1}{2nM}$, y vamos a $P_n$ ser una partición de $[a + \epsilon_n, b]$ en el que la parte superior y inferior de Darboux sumas de $f$ ambas difieren de los de $\int_{a + \epsilon_n}^b f$ por menos de $\frac{1}{2n}$. La parte superior e inferior de Darboux sumas de $f$ $\{a\} \cup P_n$ ambos difieren de $\int_{a + \epsilon_n}^b f$ por menos de $\frac{1}{n}$, lo $f$ tiene una secuencia de la parte superior de Darboux las sumas de $[a, b]$ que converge a $\int_{a+}^b f$, y también una secuencia de menor sumas de Darboux $[a, b]$ que converge a $\int_{a+}^b f$. Por lo tanto, $f$ es de Riemann integrable en $[a, b]$, e $\int_a^b f = \int_{a+}^b f$. Q. E. D.
Aplicación (un lema para lo cual necesitaba la anterior como una subsidiaria de lema):
Deje $g: \R \to \R$ ser una limitada función cuya impropia de Riemann integral de la $\int_{-\infty}^\infty g$ existe, le $\phi: (a, b) \to \R$ ser continuamente diferenciable aumento de bijection, y dejar que el la función $F: [a, b] \to \R$ ser definido por $F(y) = g(\phi(y))\phi'(y)$ ($a < y < b$), $F(a)$ y $F(b)$ da valores arbitrarios. Entonces $\int_{-\infty}^\infty g = \int_a^b F$.
Prueba:
Por el teorema de cambio de variable en una integral de Riemann (ver por ejemplo, Rudin, op. cit., Teorema 6.19), $F$ es Riemann-integrable en cualquier cerrada subinterval $[c, d]$$(a, b)$, y $\int_c^d F = \int_{\phi(c)}^{\phi(d)} g$. Por lo tanto, la indebida Riemann integral de la $\int_{a+}^{b-} F$ existe y es igual a la mala Riemann integral de la $\int_{-\infty}^\infty g$. Pero $F$ está delimitada en $[a, b]$, por lo que el lema anterior implica que $\int_a^b F$ existe y es igual a $\int_{-\infty}^\infty g$. Q. E. D.
Son estas pruebas válidas? Hay más corto o más claro pruebas? Son estas pruebas, de hecho, una canción y un baile sobre nada?
Actualización:
La segunda "prueba" no es válido. En el contexto original, me ha dedicado un gran esfuerzo para asegurar que los $F$ fue delimitada en $[a, b]$. De hecho, ese era el quid de la discusión (sobre la indebida integral sobre la $\R$ de una función de disminución moderada). Por supuesto, uno no puede simplemente ir al grano afirmar lo mismo en el contexto general! Así, el matorral de la afirmación de que este es también un 'lema'. Me alegro de que el primer lema es ACEPTAR.
