Demostrar que $p$ es primer en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ si y solamente si es irreductible en $x^2+3$ $\mathbb{F}_p[x]$.

Question

Estoy teniendo problemas con esta particular tarea de problema. Creo que tengo una dirección:

Deje $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$. Si $p$ es primo, entonces $p$ es irreducible en a $R$, ya que el $R$ es una parte integral de dominio. Por lo tanto, $(p)$ es máxima, por lo que $$ R/(p) \cong \mathbb{F}_p[x]/(x^2+3) $$ es un campo. Por lo tanto, $(x^2+3)$ es máxima en $\mathbb{F}_p[x]$, lo $x^2+3$ es irreductible.

Sin embargo, si asumimos $x^2+3$ es irreducible en a $\mathbb{F}_p[x]$, luego de que sólo implica que $p$ es irreducible en a $R$ por el mismo razonamiento. Desde $R$ no es un UFD, esto no implica $p$ es un número primo, así que estoy atascado.

Muchas gracias!

Answer 1

Si $R/(p)$ es un dominio, entonces eso hace implica que $p$ es primer en $R$ (véase el artículo de Wikipedia). En otras palabras, un elemento es primer precisamente cuando el ideal que genera es prime, que es el caso precisamente cuando quotienting por ese ideal produce un dominio integral. Si usted asume que $x^2+3$ es irreducible, entonces tienes %#% $ #% es un dominio integral (de hecho, un campo en este caso).

Answer 2

% Toque $\ $si $\rm\ R/p\, \cong\, S/q\ $ y $\rm\ p\: prime\ in\,R\!\iff\! domain\: R/p \,\cong\, S/q\!\iff\! q\: prime\ in\ S$