¿Cuáles son las propiedades de un número primo?

Question

Por ejemplo, sabemos que los números Impares se comportan como:

$$x = 2y + 1 \quad\text{where}\quad x,y\in\mathbb Z$$

Para números pares:

$$a = 2b \quad\text{where}\quad a,b\in\mathbb Z$$

Pero, ¿qué pasa con los números primos?

Answer 1

Ya que la gente está hablando de "fórmulas para los números primos" y alguien mencionó los polinomios, es divertido mencionar este hecho: En realidad hay un polinomio de 4º grado (si no recuerdo mal) en 14 variables (si no recuerdo mal), con coeficientes enteros llamémoslo $f(p,x_1,\ldots,x_{13})$ ---de modo que $$ p\text{ is prime if and only if }\exists x_1\ \cdots\ \exists x_{13}\ f(p,x_1,\ldots,x_{13})=0. $$ (O tal vez debería haber " $14$ " donde " $13$ )

El polinomio, en todo su esplendor, es demasiado largo para escribirlo en este margen. Pero si lees sobre el décimo problema de Hilbert es probable que te topes con él.

Nota posterior: Que tal polinomio existe es lo que se expresa diciendo que el conjunto de todos los números primos es un "Conjunto diofantino" .

Answer 2

$ x= \left\{ \begin{array}{lr} Prime & : \left| \prod _{k=2}^{x-1}\sin \left( {\frac {x\pi }{k}} \right) kx \right| > 0\\ Composite & : \left| \prod _{k=2}^{x-1}\sin \left( {\frac {x\pi }{k}} \right) kx \right| = 0 \end{array} \right. $ s.t. $x \in \mathbb{N}$

Esta es una función que hice, funciona como el Tamiz de Eratóstenes del que lo derivé.

Answer 3

Le recomiendo encarecidamente que eche un vistazo a Artículo de Zagier sobre los primeros 50 millones de números primos para conocer otras caracterizaciones de la noción de "número primo".

En cuanto a las congruencias que caracterizan primalidad El teorema de Wilson es uno de los más conocidos (como atestigua el hecho de que ya se haya mencionado anteriormente). Sin embargo, M. V. Subbarao ha estado a punto de conseguirlo. Puede leer sobre ello en uno de esos volúmenes de Ross Honsberger. Además, si tiene curiosidad, puede visitar la página de Scott Kominers: hay una generalización de dicho criterio por Subbarao en una nota suya publicada recientemente en Integers.

Aquí tienes otras equivalencias de la definición de número primo:

A . $p$ es un número primo positivo si $\phi(p) = p-1$ .

Cuando le conté al profesor Luca lo de esta conclusión mío, me habló generosamente de El problema totiente de Lehmer .

B . $p$ es un número primo positivo si $p$ es el menor factor $>1$ de algún número natural.

C . Más tarde ...

Answer 4

Se puede crear una fórmula utilizando la función $\mod(\cdot)$ función.

$\mod({\rm PrimeNumber}/n) > 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ y $n > 1$ distinto de PrimeNumber

Answer 5

En cierto modo, hay más números primos que cuadrados, lo cual no es una afirmación exacta, pero la suma de todos los números primos es divergente, mientras que la suma del cuadrado de todos los números es convergente.