Por ejemplo, sabemos que los números Impares se comportan como:
$$x = 2y + 1 \quad\text{where}\quad x,y\in\mathbb Z$$
Para números pares:
$$a = 2b \quad\text{where}\quad a,b\in\mathbb Z$$
Pero, ¿qué pasa con los números primos?
Una manera poderosa..
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
draks ...
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Will Dana
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No existe una fórmula algebraica para los números primos; hay algunos ejemplos en el artículo de Wikipedia sobre el tema, pero todas son feas y poco prácticas. En general, la forma más sencilla de definir los primos es como números con sólo 2 divisores.
Por supuesto, se pueden decir cosas como "todos los primos excepto 2 son números Impares", que se deduce de la definición, pero esto no nos dice nada sobre que Los números Impares son primos, y no hay patrones claros.
Re "la forma más sencilla de definir los primos es como números con sólo 2 divisores": AFAIK esa es la definición habitual de irreducible . AFAIK la definición usual de prime es que un número es primo si es divisor de $ab$ implica que es divisor de $a$ o de $b$ . (Eso equivale, sin embargo, a la primalidad).
@msh210: Tu "definición habitual" lleva a $1$ ser un primo, que no es un significado comúnmente aceptado.
@HenningMakholm, sí, no he dicho que hablara de números enteros. $>1$ . Tampoco he dicho que estuviera hablando de números enteros. Pero lo estaba, y lo estaba. (En términos más generales, una no unidad distinta de cero es prime if....)
Sniper Clown
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A esto hay que añadir que no hay fórmula de los primos puede ayudar a rastrear la historia de los números primos. Euclides definió los números primos en Elementos Libro VII, Definición 11 como:
Un número primo es aquel que se mide sólo por una unidad.
que a su vez se basa en definiciones de número y unidad .
Definición 1 del mismo libro:
Una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que existen se llama una.
Definición 2:
Un número es una multitud compuesta de unidades.
En cuanto a la definición formal, Metamath Proof Explorer lo define así: primos .
Como nota al margen, aunque no es una propiedad de los números primos, Conjetura de Goldbach afirma que:
Todo número entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos.
Editar : Hay formularios de primos. Aquí está la lista completa:
edi9999
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He aquí otra propiedad algo relacionada con los primos que estudié por la mañana:
Para cualquier número entero $m$ no hay ningún polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tales que $p(n)$ es primo para todos los números enteros $n\ge m$ .
Referencias: 1) 104 Problemas de Teoría de Números: Del entrenamiento del equipo USA IMO
por Titu Andreescu, Dorin Adrica y Zuming Feng.
Edición: Estaba navegando por Internet cuando me topé con este libro dedicado a los primos (no puedo opinar sobre él porque no tengo conocimientos avanzados de matemáticas).
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Es evidente que todos los primos distintos de $2$ debe ser de la forma $2k + 1$ para algún número entero $k$ (si no, es divisible por $2$ ). Esto es lo mismo que decir que todos los primos (excepto 2) son congruentes con 1 (mod 2). Del mismo modo, todos los primos son congruentes con 1 o 2 (mod 3). Y todos los primos son congruentes con 1 ó 3 (mod 4)... etc. ¿Qué buscas exactamente? No existe una forma "general" de número primo, si es eso lo que preguntas.
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No existe una regla tan sencilla para los números primos. Pero busque en Google el término "tamiz de Eratóstenes". Se ha escrito tanto sobre sus propiedades que personas brillantes se pasan la vida estudiándolos sin leer la mayor parte de lo publicado. Alrededor del año 300 a.C., Euclides demostró que existen infinitas. Quizá sea el resultado más interesante que se puede presentar a un nivel elemental.
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@Daniel, eso responde a mi pregunta. Efectivamente estoy buscando una forma "general". Casi como una fórmula con lo que tengo.
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Existen polinomios en varias variables que producen todos los números primos cuando las variables de entrada están restringidas a ser no negativas. Véase este para ver un ejemplo de polinomio en $26$ variables que hace el trabajo. Se sabe que también existe un polinomio de este tipo en $10$ variables.
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@jak, ¿sería "¿Existe una fórmula general para los números primos?" un título más preciso para tu pregunta?