Estoy haciendo un primer curso de álgebra homológica. Como proyecto, el profesor propuso que cada alumno encontrara un tema, presentable en una hora En el caso de los cursos de formación, se trata de un curso de formación de la mano de los profesores de la universidad. El material que se cubrió fue lo básico de los funtores derivados como universales $\delta$ -functores, resoluciones proyectivas, inyectivas y acíclicas, y bonitas aplicaciones a la geometría algebraica, la cohomología de grupos y la cohomología de gavillas.
Quiero mostrar la relevancia del álgebra homotópica para el álgebra homológica. Sin embargo, al profesor no le interesan demasiado las tonterías abstractas, así que mi idea original de mostrar la definición general de funtores derivados como "aproximaciones homotópicas" en categorías homotópicas no es, por sí misma, una opción muy prometedora.
Lo que busco son "aplicaciones" sencillas de las ideas homotópicas al álgebra homológica, que sean elementales en el sentido de no requerir demasiados resultados profundos en la teoría de la homotopía y la topología algebraica (aunque la maquinaria categórica no está limitada). Hay que evitar cosas como los espectros, la teoría de la homotopía estable/inestable, etc. Por aplicaciones no me refiero necesariamente a cálculos explícitos, por cierto.
Es comprensible que la gente tenga la tentación de decir que el álgebra homológica es sólo un caso especial del álgebra homotópica, por ejemplo, como en el comentario de Adeel Khan sobre esta pregunta y también profundizar en el ámbito de la $\infty$ -categorías/topoi, pero estas ideas, que me parecen enormes avances conceptuales, están muy por encima de mi nivel y límite de tiempo. Realmente estoy buscando cosas "básicas".
Lamentablemente, mi pregunta está mal planteada, pero creo que es inevitable.
