Mi problema es el siguiente:
Para $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$, $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n\sin(x)}$
Encontrar el pointwise límite de $(f_n)$ todos los $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$
No estoy seguro de si la forma en que he construido mi "prueba" es correcta, pero que se dividió en los casos, de la siguiente manera:
Caso 1: $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$
$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{nx}{n \sin(x) + 1} = \frac{x}{\sin(x)}$$
Caso 2: $x=0$
$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n(0)}{1 + 0} = 0$$
Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$
donde $$f(x) = 0 , x= 0$$ and $$ f(x) = \frac{x}{\sin(x)}, x \in (0, \frac{\pi}{2}]$$
¿Hay alguna manera de mejorar la forma en que he construido este ? Yo estaba un poco inseguro con la opción de hacer un "caso 1 y caso 2" para esta pregunta.
Los consejos son muy apreciados
