Un número irracional$x$ tal que$x^x$ es racional

Question

Puedo demostrar que existe un número iraional$x$, de modo que$x^x$ es racional. Pero no tengo ningún ejemplo. ¿Puedes dar un ejemplo de precio de ese número$x$?

Answer 1

La solución real a$x^x=2$ es irracional.

Prueba:

Supongamos que$x=\frac{p}{q}$ donde$p$ y$q$ no tienen un factor en común:

ps

Debemos tener $$\left(\frac{p}{q}\right)^{p}=2^{q}$

Nota$p^p=q^p2^q$ porque$p>q$ (esto se puede mostrar).

Entonces$x>1$ debe ser par. Entonces podemos establecer$p$.

ps

ps

ps

Entonces$p=2k$ debe ser par. Contradicción.

Nota:

Tenemos$$(2k)^{2k}=q^p2^q$, luego$$2^{2k}k^{2k}=q^{2k}2^q$ y$$2^{2k-q}k^{2k}=q^{2k}$, de modo que usando la función lambert W:

ps

ps

Answer 2

Como$x^x$ es una función continua,$1^1=1$ y$2^2=4$, entonces hay un$x$ tal que

ps

Como la función es monótona en este rango, la solución es única.

Este número es irracional; de lo contrario, permita que$$x^x=2.$ sea la fracción irreducible$x$:

$p/q$ $ implica

ps

Entonces$$\left(\frac pq\right)^{p/q}=2$ es par,$$p^p=2^qq^p.$ con$p$ impar, y

$p=2r$ $ para que$q$ sea par!