Prueba determinante usando sus propiedades

Question

Probar sin expandir: \begin{equation} \begin{vmatrix}bc&a^2&a^2\\b^2&ac&b^2\\c^2&c^2 & ab\end {vmatrix} = \begin{vmatrix}ac&bc&ab\\bc&ab&ac\\ab&ac&bc\end {vmatrix} \ end {equation}

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Intentó multiplicar por 'abc' en todas las filas y luego tomar factores comunes. Intentó expandir el determinante en dos determinantes. Utilicé las propiedades determinantes que se muestran aquí: http://www.vitutor.com/alg/determinants/properties_determinants.html

Answer 1

Comprobamos que la propiedad se mantiene cuando uno de$a,b,c$ es cero. Ahora suponga que$a,b,c$ son todos distintos de cero.

Dividimos las columnas por$bc$,$ac$ y$ab$, respectivamente, y multiplicamos las filas por$bc$,$ac$ y$ab$ respectivamente . Esto da

$$\begin{vmatrix}bc&a^2&a^2\\b^2&ac&b^2\\c^2&c^2 & ab\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}bc&ab&ac\\ab&ac&bc\\ac&bc&ab\end{vmatrix}$ $ luego ciclo las filas para obtener$$=\begin{vmatrix}ac&bc&ab\\bc&ab&ac\\ab&ac&bc\end{vmatrix}.$ $