Extensión algebraica infinita de$\mathbb{Q}$

Question

Tengo este problema en una lista de ejercicios:

"Demostrar que el $K=\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{2}},2^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{1}{4}}, \ldots)$ es una extensión algebraica, pero no de un número finito de extensión de $\mathbb{Q}$."

Lo que yo hice:

Deje $\alpha \in K$,$\alpha = a_0 + a_12^{\frac{1}{n_1}}+a_22^{\frac{1}{n_2}}+\cdots+a_m2^{\frac{1}{n_m}}$.

Ahora, ya que cada factor de la suma anterior es algebraico sobre $\mathbb{Q}$, se deduce que el $\alpha$ es de hecho algebraicas sobre $\mathbb{Q}$ (debido a que el conjunto de los números algebraicos es un campo).

Supongamos ahora que $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$. Entonces, por Steinitz del teorema, no es $u \in K$ tal que $K=\mathbb{Q}(u)$. Deje $p(x)$ ser el polinomio mínimo de a $u$, y deje $n$ $p$'s grado. Luego, K es una extensión grado os $n$. Sin embargo, el polinomio mínimo de a $2^{\frac{1}{n+1}}$ tiene el grado $n+1$, por lo que K es una extensión de un grado al menos $n+1$, contradiciendo la hipótesis de que la $K$ es una extensión de grado $n$. Por eso, $K$ es una extensión infinita de $\mathbb{Q}$.

Mis dudas: ¿$\alpha$ ser una infinita suma? Si sí, ¿puedo utilizar el mismo argumento?

Answer 1

Como se ha mencionado, el resultado es una consecuencia directa del hecho de que $[\mathbf{Q}(2^{1/n}):\mathbf{Q}]$ = n. Esto es porque tenemos entonces, para cada a $n$, la desigualdad $$n = [\mathbf{Q}(2^{1/n}):\mathbf{Q}] \leq [K:\mathbf{Q}].$$ Desde $[K:\mathbf{Q}]$ es mayor que cualquier número natural, debe ser infinito.

Los más difíciles punto es la razón por la $2^{1/n}$ tiene el grado $n$$\mathbf{Q}$. Para esto es suficiente para establecer que el polinomio $X^n - 2$ es irreductible. Esto se sigue inmediatamente de Eisenstein, el criterio para el prime $p = 2$.

Hay un error en la prueba de que cada elemento de a $K$ es algebraico sobre $\mathbf{Q}$. No está claro por qué usted reclamar $\alpha \in K$ puede ser escrita en la forma de una combinación lineal de varias raíces de $2$. La única cosa que es evidente es que el $\alpha$ puede ser escrito como una expresión polinómica de estos números, no es una combinación lineal.

La prueba de que $K$ es algebraica es la siguiente. El campo $K$ es generado por el conjunto de $S = \mathbf{Q} \cup \{2^{1/2}, 2^{1/3}, \dots\} \subseteq \overline{\mathbf{Q}}$ donde $\overline{\mathbf{Q}}$ es el campo de los números algebraicos sobre $\mathbf{Q}$. De ello se desprende que $K$ sí está contenida en $\overline{\mathbf{Q}}$. Por lo tanto $K$ es algebraico sobre $\mathbf{Q}$.