Aplicación básica del Nullstellensatz

Question

Antecedentes: acabo de empezar el aprendizaje básico de la geometría algebraica. Mi solución a un problema simple consiste en una aplicación de la Nullstellensatz y quiero saber si esto es un exceso (o tal vez sencillamente mal).

Mi pregunta: Quiero mostrar que la $k[X,Y]/(Y-X^2) \simeq k[T].$

Construyo la obvia mapa de $\phi: k[X,Y] \to k[T]$ de los que tomaron $X\to T$ $Y \to T^2.$ Desde que este mapa es claramente surjective basta para mostrar que su núcleo es el ideal de la $(Y-X^2).$

Claramente $(Y-X^2) \subset \text{ker}(\phi).$ Para obtener la inversa de la inclusión, la necesito para demostrar que cualquier polinomio $p\in k[X,Y]$ con la propiedad de que $p(T,T^2)=0$ es, de hecho, de la forma $p(X,Y)=(Y-X^2)q(X,Y)$ $q\in k[X,Y].$

Es aquí que quiero usar la fuerte Nullstellensatz:

El conjunto algebraico $\{(t,t^2)\}$ es exactamente el ajuste a cero de la radical ideal $(Y-X^2) \subset k[X,Y].$ El Nullstellensatz luego me dice que cualquier polinomio que se desvanece en este conjunto debe ser de hecho un elemento de la radical ideal. Esto es justo lo que necesito.

Mi argumento es malo, o es que hay una manera mucho más fácil responder a esta pregunta?

Answer 1

Este problema es una instancia de la declaración (casi trivial):

Permita que$R$ sea un anillo conmutativo y$a \in R$, luego$R[Y]/(Y-a) \cong R$.

Solo configure$R = k[X]$ y$a = X^2$.

Answer 2

En resumen, no, no creo que la prueba está completa.

Parece que están tratando de mostrar $A(\mathbb{A}^1)\cong A(V(y-x^2))$ y, a continuación, observe $A(\mathbb{A}^1)\cong k[t]$$A(V(y-x^2))\cong k[x,y]/(y-x^2)$.

A pesar de la afirmación de que el conjunto algebraico $\{(x,y)\in \mathbb{A}^2: x=t, y=t^2\}$ es el ajuste a cero de $y-x^2$ es cierto, ¿cómo sabes que es exactamente el ajuste a cero? Para ello, sería necesario argumentar que el polinomio $y-x^2$ tiene exactamente una componente irreducible y en realidad no es una unión de variedades (es decir,$\mathbb{A}^1\cong V(y-x^2)$). Este es uno de los mapas que hacerlo a la inversa mapa sigue siendo necesaria.

Además, debe mostrar $A(V(y-x^2))\cong k[x,y]/(y-x^2)$. Esto no es particularmente difícil. Basta para mostrar $y-x^2$ es irreducible en a$k[x,y]$, lo que puede ser hecho por el criterio de Eisenstein (con el primer ideal $(y)$$k[y][x]$).

(Otra forma de abordar este problema, sin el uso de métodos geométricos, es mediante la exhibición de dos mapas de $\pi:k[t]\rightarrow k[x,y]/(y-x^2)$ $\rho:k[x,y]/(y-x^2)\rightarrow k[t]$ que son inversos el uno al otro. Este sería exponer un isomorfismo.)

Answer 3

Sí, uno puede evitar el uso de Nullstellensatz. Vamos $I=(Y-X^2)$, $\alpha:k[X,Y]\to k[X,Y]/I$ ser natural homomorphism. Entonces tenemos dos obviuous hechos:

1. $\alpha(k[X])=k[X,Y]/I$;

2. $k[X]\cap I=\{0\}$.

De ello se sigue, que la restricción $\alpha'=\alpha|_{k[X]}$ epimorphic inyectiva y, por lo tanto $\alpha':k[X]\to k[X,Y]/I$ es un isomorfismo.

La verificación de la declaración 1. Vamos a utilizar una barra de notación para $\alpha$, es decir,$\alpha(x)=\bar x$. Nota, que $Y-X^2\in I$, por lo tanto $0=\overline{Y-X^2}=\overline{Y}-{\overline{X}}^2$, es decir,$\overline Y={\overline{X}}^2$. Deje $f\in k[X,Y]$. Entonces $$ \overline{f(X,Y)}= f(\overline X,\overline Y)= f(\overline X,{\overline X}^2)= \overline{f(X,X^2)} =\overline{g(X)}, $$ donde $g(X):=f(X,X^2)\in k[X]$, por lo tanto $\alpha(k[X])=k[X,Y]/I$.

La verificación de la declaración 2. Deje $0\neq f\in k[X]\cap I$. A continuación, $f(X)=(Y-X^2)g(X,Y)$ algunos $g\in I$. De ello se desprende que $f(X)=f(X,X^2)=0$ - una contradicción.