Encontrar una topología en$ \mathbb{R}^2 $ tal que el$x$ - eje sea denso

Question

El problema es el siguiente Poner una topología en $ \mathbb{R}^2$ con la propiedad de que la línea de $\{(x,0):x\in \mathbb{R}\}$ es denso en $\mathbb{R}^2$

Mi intento

Si (a,b) está en $R^2$, a continuación, definir un abrir conjuntos de $(a,b)$ como la franja comprendida entre los $d$$c$, inclusive cuando la $c$ tiene el signo opuesto de $b$ $d>b$ si $b$ es positivo, de lo contrario,$d<b$ . Claramente esto siempre contiene el conjunto de $ \mathbb{R}\times\{0\}$. También obedece a la topológico de las leyes, es decir, la intersección de dos conjuntos es abierto. La unión de cualquier número de bloques abiertos es abierta.

Gracias por su ayuda

Answer 1

La respuesta más sencilla es dar a $\Bbb R^2$ la topología indiscreta, cuyo único abrir conjuntos de $\varnothing$$\Bbb R^2$. El cofinite topología, cuyos miembros son $\varnothing$ y todos los subconjuntos de a $\Bbb R^2$ cuyo complementa en $\Bbb R^2$ son finitos, también funciona y es $T_1$.

Para obtener una mejor topología, vamos a $\varphi:\Bbb R^2\to\Bbb R$ ser un bijection; esta respuesta a una pregunta anterior se describe en detalle la forma de encontrar un $\varphi$. Deje $X=\Bbb R^2\setminus(\Bbb Q\times\{0\})$. Para cada una de las $x\in X$ deje $\langle q_x(k):k\in\Bbb N\rangle$ ser una secuencia de números racionales convergencia monótona a $\varphi(x)$. Es fácil ver que si $x,y\in X$$x\ne y$, entonces las secuencias de $\langle q_x(k):k\in\Bbb N\rangle$ $\langle q_y(k):k\in\Bbb N\rangle$ puede tener sólo un número finito de términos en común. Para $x\in X$ $n\in\Bbb N$ deje $B_n(p)=\{p\}\cup\big\{\langle q_x(k):k\ge n\big\}$. Para $x\in X$ deje $\mathscr{B}(x)=\{B_n(x):n\in\Bbb N\}$, y topologize $\Bbb R^2$ haciendo de cada punto de $\Bbb Q\times\{0\}$ aislado y tomar $\mathscr{B}(x)$ como una base local en $x\in X$. El espacio resultante es de Tikhonov y cero-dimensional y ha $\Bbb Q\times\{0\}$ (y, por tanto, de curso $\Bbb R\times\{0\}$) como un subconjunto denso.

Pero podemos hacerlo mejor todavía. Deje $C$ ser el medio tercios conjunto de Cantor, y vamos a $D=[0,1]\setminus C$; $D$ es denso en $[0,1]$, e $|D|=|C|=|[0,1]|=|\Bbb R^2|$. Deje $X=\Bbb R\times\{0\}$, y vamos a $Y=\Bbb R^2\setminus X$; $|X|=|Y|=|\Bbb R^2|$ así, por lo que hay bijections $\varphi_X:X\to D$$\varphi_Y:Y\to C$. Definir

$$\varphi:\Bbb R^2\a[0,1]:x\mapsto\begin{cases} \varphi_X(x),&\text{if }x\in X\\ \varphi_Y(x),&\text{if }x\in Y\;. \end{casos}$$

Finalmente, topologize $\Bbb R^2$ hacer $\varphi$ un homeomorphism de $\Bbb R^2$ $[0,1]$con la topología usual: $U\subseteq\Bbb R^2$ es abrir el fib $\varphi[U]$ está abierto en $[0,1]$ con la topología usual. $D$ es denso en $[0,1]$, lo $X=\varphi^{-1}[D]$ es denso en $\Bbb R^2$, como se desee, y esta vez tenemos un compacto métrica de la topología en $\Bbb R^2$ que $X$ es denso!

Answer 2

El siguiente generaliza todas las soluciones (EDIT: no todas las soluciones, sólo a aquellos que dar una topología en $\mathbb{R}^2$ homeomórficos para el estándar de la topología). No tiene mucho topológico de contenido, pero sirve para mostrar cómo básicas de la teoría de conjuntos a menudo puede ser utilizado para trivializar los problemas en otros campos. Un famoso ejemplo de este fenómeno es el Cantor de la prueba de la existencia de los (infinitos) trascendental números.

Por lo tanto, vamos a $X$ ser un subconjunto denso de $\mathbb{R}^2$ ser tal que $$\left|X\right| = \left|\mathbb{R}^2\setminus X\right| = \left|\mathbb{R}^2\right|$$

Por ejemplo, $X$ podría ser el conjunto de puntos con irracional primera coordenada. Ahora vamos a $f$ $g$ ser bijections: $$f : \mathbb{R}\times\{0\} \to X$$ $$g : \mathbb{R}\times (\mathbb{R}\setminus\{0\}) \to \mathbb{R}^2\setminus X$$

A continuación, vamos a $F = f \cup g$ es un bijection desde el avión a sí mismo que el mapa de la $x$-eje en $X$. La topología queremos que se compone de los conjuntos de $A$ que $F[A]$ es abierto en la topología estándar.