¿Una prueba de energía Work-Kinetic que es matemáticamente sólida?

Question

Yo estaba buscando en las pruebas de $W=\Delta \text{KE}$ a lo largo de las curvas en línea y todos ellos parecen descuidado a mí. Me pregunto si esta prueba es matemáticamente sonido, o si alguien ha visto un matemáticamente a prueba de sonido:

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Deje $v=\frac{dr}{dt}$ el valor del vector de velocidad, como vamos a $r$ el valor del vector de posición. Deje $F=m\frac{dv}{dt}$ denotar la fuerza en una posición especificada. Dejar que la masa se $m$ ser constante. A continuación, el trabajo realizado a lo largo de una curva de $C$ se define como,

$$W=\int_{C} F \cdot dr=m \int_{C} \frac{dv}{dt} \cdot dr$$

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Los próximos pasos parecer descuidado a mí.

$$=m \int_{v_i}^{v_f} \frac{dr}{dt} \cdot dv$$

$$=m \int_{v_i}^{v_f} v \cdot dv$$

$$=m \int_{|v_i|}^{|v_f|} |v| d|v|$$

$$=\frac{1}{2}m|v_f|^2-\frac{1}{2}m|v_i|^2$$

$$=\Delta \text{KE}$$

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Tres cosas que parece extraño para mí: El tratamiento de la diferencia de los vectores como si fueran solo los vectores, y los límites de la integración como podemos cambiar las variables de integración. Aún así, suponiendo que se nos puede tratar como vectores, cómo es $|dv|=d|v|$?

Si es descuidado matemáticamente, ¿alguien sabe como corregirlo, yo sé que por ejemplo en una variable cálculo de cruzar fuera de los diferenciales puede ser realizado de manera rigurosa por solo citar la regla de la cadena. Lo que aquí?

Answer 1

El trabajo de la fuerza neta (que es matemáticamente sólo indica que la ecuación de $\mathbf{F} \circ \mathbf{c}=m\mathbf{\ddot{c}}$ mantiene) está dada por la variación de la cinética enery, y esto es sólo una aplicación del teorema fundamental del cálculo y un simple cálculo: la derivada de la función real $$E:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ $$t \mapsto \frac{m}{2}\langle \mathbf{\dot{c}}(t), \mathbf{\dot{c}}(t)\rangle.$$ Tenemos que $E'(t)=\langle m\mathbf{\ddot{c}}(t),\mathbf{\dot{c}}(t) \rangle$ (este cálculo no necesita de la segunda ley de Newton, y es matemático). Sin embargo, el hecho de que $E'(t)=\langle \mathbf{F}(\mathbf{c}(t)),\mathbf{\dot{c}}(t) \rangle$ necesidades.

Por el teorema fundamental del cálculo, tenemos que $$\begin{align*} E(b)-E(a)=\int_a^bE'=\int_a^b\langle \mathbf{F}(\mathbf{c}(t)),\mathbf{\dot{c}}(t)\rangle dt, \end{align*}$$ y esta última es la definición de la obra de $\mathbf{F}$ a lo largo de $\mathbf{c}$.

Answer 2

para las curvas físicas$C$ con una ruta entre$t_1$ y$t_2$ que tenemos del teorema fundamental de cálculo que

ps

y a partir de esto se obtiene el resultado deseado (uso después del cambio de la variable de integración a$$\int_C\nabla f\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=f(\mathbf{r}(t_2))-f(\mathbf{r}(t_2))$ para obtener energía cinética)

EDITAR:

$$\begin{align*} W&=\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} \\ &=m\int_C \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{v} \\ &=m\int_C \nabla_v\left( \frac{\mathbf{v}^2}{2}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{v} \\ &=\frac{1}{2}m\mathbf{v}(t_2)^2-\frac{1}{2}m\mathbf{v}(t_1)^2 \\ &=\Delta\mathrm{KE} \end{align*}$$