La idea es que queremos para definir algunas noción de curvatura para un colector que intuitivamente se está de acuerdo con la intuición que tenemos acerca de la curvatura.
El genio de la visión que conduce a la deseada definición de la noción de transporte paralelo. Hablando no rigurosamente aquí, la idea básica es que si el transporte de un vector tangente en un colector paralelo a sí mismo todo el camino alrededor de una curva cerrada, entonces el vector vendrá de nuevo a sí mismo en espacios planos, pero se convertirá en un vector diferente en un espacio curvo.
Para ver por qué la noción de transporte paralelo tiene nada que ver con la curvatura, pensar por ejemplo, en el plano Euclidiano $\mathbb R^2$ en comparación con las dos dimensiones de la esfera $S^2$.
Considere la curva que consiste en un triángulo equilátero con un vértice en el origen. Ahora imagina la colocación de un vector que emana desde el origen, y de imaginar pasar que el vector a lo largo del triángulo, manteniendo su "cola" en el triángulo, y asegurándose de mantener el vector paralelo a sí mismo todo el tiempo. Si el vector de transporte de una vez alrededor del triángulo de vuelta al origen de esta manera, luego de recibir el mismo vector de la espalda.
Algo radicalmente diferente ocurre si haces lo mismo en la esfera como en el siguiente diagrama de la página de la wiki en paralelo de transporte indica
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Si mueve un vector desde Un punto de volver a sí mismo a lo largo de la curva indica en el diagrama, el vector de no retorno a sí mismo. Esto sucede porque la esfera es curvo.
De hecho, la noción de transporte paralelo puede ser utilizado para caracterizar completamente lo que queremos decir por curvatura. La lógica que usted encontrará en muchos de los libros sobre los recursos genéticos y la geometría diferencial es más o menos la siguiente:
Definir la noción de una conexión (básicamente esto define lo que entiende usted por tomar derivados en el colector).
El uso de la conexión a definir la noción de transporte paralelo a lo que está de acuerdo con nuestra intuición de transporte paralelo, por ejemplo, en la esfera del ejemplo anterior.
Demostrar que no es un tensor que mide con precisión cuánto los componentes de un vector cambia cuando es paralelo transportados a lo largo de una pequeña curva cerrada en el colector.
Llame a este tensor del tensor de Riemann, y utilizarlo como el objeto que capta la noción de curvatura.
Hay una gran discusión de esto en un montón de libros. Personalmente, me gusta la discusión en las páginas 36-38 de Wald de la Relatividad General.
Adenda. Wald realidad muestra que si usted se considera una curva de delimitación de un pequeño de dos dimensiones parche parametrizada por las coordenadas $s$ $t$ del colector, el cambio $\delta v^a$ en las componentes de un vector transportados a lo largo de la frontera de este parche satisface
\begin{align}
\delta v^a = \delta t\,\delta s\, v^dT^cS^bR_{cbd}^{\phantom{cbd}a}
\end{align}
donde $\delta t\,\delta s$ es el área del parche, y $T^c$ $S^b$ son las tangentes a las curvas de constante $s$ $t$ respectivamente.
