La siguiente pregunta que me mantiene preguntando por algunas semanas:
Dadas las matrices simétricas $A,B,C\in\mathbb{R}^{n\times n}$ donde $A$ $C$ es positiva definida (por lo tanto invertible), y $B$ es positivo semidefinite (por lo tanto no necesariamente invertible) con $\operatorname{trace}(B)\neq 0$, demostrar que
$$\operatorname{trace}\left\{C^{-1/2}BC^{-1/2}(A^{-1}+C^{-1/2}BC^{-1/2})^{-1}(A+\frac{n}{\operatorname{trace}(B)}C)^{-1}\right\}\geq \operatorname{trace}\left\{(A+\frac{n}{\operatorname{trace}(B)}C)^{-2} \right\}.$$
Si es de ayuda, también se pueden considerar como la versión más sencilla con $C=I$: demostrar que
$$\operatorname{trace}\left\{B(A^{-1}+B)^{-1}(A+\frac{n}{\operatorname{trace}(B)}I)^{-1}\right\}\geq \operatorname{trace}\left\{(A+\frac{n}{\operatorname{trace}(B)})^{-2} \right\}.$$
Por favor, tenga en cuenta que la inversión de la matriz lema no es aplicable en primera como $B$ es positivo semidefinite. Aunque no estoy seguro, parece que $\operatorname{trace}(B)=\operatorname{trace}\{(\operatorname{trace}(B)/n)I\}$ debe ser utilizado de alguna manera, y también puede ayudar a interpretar la traza del operador en los términos de la norma de Frobenius. Yo le agradezco mucho si alguien puede dar alguna ayuda o sugerencias sobre este.
