Una cuestión de teoría de la medida

Question

Dejemos que $x_0,x_1,\ldots$ sea una secuencia infinita de números reales con $x_n \in [0,1],\,\forall n\in\mathbb{N}$ . Dejemos que $\mathcal{F}_0,\mathcal{F}_1,\ldots,$ sea una secuencia infinita de subconjuntos medibles de Lebesgue disjuntos de $[0,1]$ con $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{F}_n = [0,1]$ . Considere el número real $\delta = \sum_{n\in\mathbb{N}}\int_{\mathcal{F}_n} (x-x_n)^2 \mathrm{d}x$ .

Así que, lo que hice es lo siguiente: Desde $\sum_{n\in\mathbb{N}}\int_{\mathcal{F}_n}\mathrm{d}x = 1$ hay un índice, digamos $m$ con $\int_{\mathcal{F}_m}\mathrm{d}x >0$ . Ahora, $\delta \geq \int_{\mathcal{F}_m} (x-x_m)^2 \mathrm{d}x$ y como el integrando es distinto de cero en casi todas partes (excepto en $x_m$ ) tenemos $\delta > 0$ .

Supongo que mis derivaciones están bien. Lo que me "preocupa" es que puedo hacer $\delta$ arbitrariamente pequeño pero nunca $0$ . De alguna manera, y no sé por qué, "siento" que debería ser capaz de tomar $\{x_0,x_1,\ldots\}$ para ser todos los números racionales en $[0,1]$ y obtener $\delta = 0$ con una "buena" elección de $\mathcal{F}_n$ . ¿Estoy equivocado en mis cálculos, y si estoy en lo cierto, por qué ocurre esto a nivel intuitivo? ¿Existe algún "sistema" (o un tipo de medida diferente) en el que pueda obtener $\delta = 0$ (con respecto a esa medida).

Answer 1

Considere ${\cal F}_0$ . Podemos suponer que no está vacía al desplazar los índices. Si tiene medida cero, bien, lo saltaremos y encontraremos el primer ${\cal F}_n$ con medida no nula. (Sabemos que uno de ellos es distinto de cero porque suman $1$ .) Entonces contiene un intervalo, y en ese intervalo, la función es distinta de cero en todas partes excepto en un punto. Por lo tanto, ese trozo tiene que integrarse a algo distinto de cero. (No estoy seguro de si hay conjuntos medibles más complicados que no tengan ningún intervalo de medida positiva en ellos, pero si se "juntan todas las piezas hasta que sean adyacentes" se puede seguir concluyendo lo mismo).

La idea intuitiva es que, aunque se puede definir un conjunto de puntos que sea denso en el intervalo, los primeros tuvieron que "replantear un territorio" (el ${\cal F}_n$ ), ya que no pueden tomar todos la región más cercana a ellos, es decir, son densos.

Podrías conseguir $\delta=0$ si su medida asigna un valor distinto de cero a un número finito de puntos, y cero en todos los demás. Entonces podría superponer cada punto individualmente, y colocar $x_n$ en ese punto, de modo que las únicas contribuciones posibles que no son cero se "sellaron" individualmente. Si hay un número innumerable de puntos "valiosos" con un único punto de acumulación, digamos $\mu(\{1/n\})=2^{-1-n}$ entonces debería ser capaz de hacer que este procedimiento funcione, utilizando una sola tapa ${\cal F}_0=\{0\}$ y luego ${\cal F}_n=[2^{1-n},2^{-n})$ con $x_n$ en el lugar obvio. No estoy seguro de hasta dónde se puede llevar esto. Creo que la línea de límite es cuando se intenta hacer el conjunto de puntos denso, de modo que no se pueden dividir los puntos en intervalos de uno cada uno.