Es un espacio vectorial sobre un campo finito siempre finito?

Question

Definición de un espacio vectorial:

Deje $V$ a un y $(\mathbb{K}, +, \cdot)$ un campo.

$V$ es llamado un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{K}$ si:

V1: $(V, +)$ es un grupo conmutativo

V2: $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K} \land \forall x, y \in V:$

1. $1 \cdot x = x$
2. $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
3. $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
4. $\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$

Mi pregunta:

Si usted tiene un espacio vectorial sobre un campo finito $\mathbb{K}$, es el conjunto $V$ siempre finito?

Mis ejemplos

Un ejemplo de un espacio vectorial finito es

$V = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n, n \in \mathbb{N}$ sobre el campo de $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$.

He tratado de encontrar un infinito espacio vectorial (me refiero al número de vectores debe ser infinita) sobre un campo finito. Elegí $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ mi campo y $V = \mathbb{R}^2$. Pero en este caso V2.3 no funciona:

$\lambda = \mu = 1, x = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$:

$(\lambda + \mu) \cdot x = (1+1)\cdot x = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \cdot x = 0 \neq \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} = 1 \cdot x + 1 \cdot x$

Answer 1

Sí a tu comentario debajo de Ahriman, el Alce.

Estos no son los únicos ejemplos, sin embargo: si $\,\Bbb F=\Bbb F_p\,$ es el primer campo finito de orden prime $\,p\,$, $\,\Bbb F\times \Bbb F\times...\,$ es un infinito espacio vectorial sobre $\,\Bbb F\,$.

En resumen: un espacio vectorial sobre un campo finito es finito iff es finito dimensional.

Answer 2

La suma directa de $F=\bigoplus_{i\in I} \Bbb F$ es un espacio vectorial sobre $\Bbb F$ de dimensión igual a la cardinalidad de I. de este modo se puede obtener un vector de campo de cualquier dimensión, para cada campo.

Answer 3

$\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}[X]$ es un vector en el espacio, pero no es finito, ya que contiene la $1, X, X^2, ...$

Answer 4

Si un anillo conmutativo $R$ con la unidad contiene un campo $F$, $R$ es un espacio vectorial sobre $F$. Por lo tanto, es suficiente para encontrar una infinita anillo conmutativo con unidad, que tiene un campo finito como un subcampo. Un ejemplo es $F[x]$ para cualquier campo finito $F$.