¿Es necesaria la operación del módulo para definir$\mathbb{C}$?

Question

En mi análisis complejo de conferencias, la siguiente definición (traducido) es dado por $\mathbb{C}$:

Un complejo de avión $\mathbb{C}$ es un número avión $\mathbb{R}^2$ con las operaciones de módulo, la adición y la multiplicación como se definió antes.

EDIT: el módulo de operación se define en $\mathbb{R}^2$: $$(x,y) \in \mathbb{R}^2 \rightarrow |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}. $$

No tengo ninguna duda de que un bien definidos campo $\mathbb{C}$ poseen el módulo de operación. Sin embargo, es el módulo de operación necesarios para definir correctamente $\mathbb{C}$? Lo que si defino $\mathbb{C}$

un número avión $\mathbb{R}^2$ con las operaciones de suma y multiplicación como se definió antes.

Puede ser otro campo de $\mathbb{D}$ poseen las mismas operaciones de adición y multiplicación como $\mathbb{C}$, pero una diferente módulo de operación y un campo diferente de la estructura?

Answer 1

Definición: Un campo es un conjunto $k$ con dos operaciones binarias $+,\cdot : k\times k\to k$ cumplen los siguientes axiomas:

1. Para todos $a,b,c\in k$, $(a + b) + c = a + (b + c)$.
2. Para todos $a,b\in k$, $a + b = b + a$.
3. Existe $0\in k$ tal que $a + 0 = a$ todos los $a\in k$.
4. Para cada $a\in k$ existe $a'\in k$ tal que $a + a' = 0$.
5. Para todos $a,b,c\in k$, $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$.
6. Para todos $a,b\in k$, $ab = ba$.
7. Existe $1\in k\setminus\{0\}$ tal que $1\cdot a = a$ todos los $a\in k$.
8. Para todos $a,b,c\in k$, $a\cdot(b + c) = a\cdot b + a\cdot c$.
9. Para todos los distinto de cero $a\in k$ existe $\tilde{a}\in k$ tal que $a\cdot\tilde{a} = 1$.

Tenga en cuenta que no existe un "módulo" que participan en la definición anterior. Este es un muy de largo aliento para decir que $\Bbb C$ como un campo es esencialmente determinado únicamente por su adición y multiplicación, así que la respuesta a "¿puede un campo de $\Bbb D$ poseen las mismas operaciones de adición y multiplicación como $\Bbb C$, pero una diferente estructura de campo?" es "no". Hay muchos campos que son algebrically "el mismo" $\Bbb C$ (es decir, son isomorfos como campos). He aquí unas cuantas:

• $(\Bbb C,+,\cdot)$ donde $\Bbb C = \{a + bi\mid a,b\in\Bbb R\}$ con el "obvio" que la adición y la multiplicación sujeto a la regla de que $i^2 = -1$,
• $(\Bbb R^2, + , \cdot)$ donde$(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)$$(a,b)\cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc)$,
• el algebraicas que se cierre el campo de $\Bbb R$ de los números reales,
• $\Bbb R[x]/(x^2 + 1)$,
• el único (hasta el isomorfismo) algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ con cardinalidad $2^{\aleph_0}.$

Sin embargo, es posible poner las diferentes nociones de módulo en el mismo campo. Como se ha mencionado en los comentarios, el módulo es proporcionar topológico/información geométrica (es esencialmente dando una forma de medir la distancia en su campo), no algebraica de la información. Vamos a definir un módulo en un campo en general:

Definición: Dejar $(k,+,\cdot)$ ser un campo. Luego de un módulo en $k$ es una función de $v : k\to\Bbb R$ tal que

1. $v(a)\geq 0$ todos los $a\in k$,
2. $v(a) = 0$ si y sólo si $a = 0$,
3. $v(ab) = v(a)v(b)$ todos los $a,b\in k$,
4. $v(a + b)\leq v(a) + v(b)$ todos los $a,b\in k$.

La distancia entre dos puntos de $a,b\in k$ puede ser definida como $v(a - b)$, y se puede comprobar que este satisface las propiedades habituales que uno esperaría de una noción de distancia. Ahora podemos hablar de valores de campos: estos son los campos con una opción de módulo en ese campo; es decir, un valioso es el campo de datos de $(k,+,\cdot,v)$ donde $(k,+,\cdot)$ es un campo, y $v$ es un módulo en $k$.

Es posible tener dos valores de los campos cuyo subyacente algebraicas campo de la estructura es la misma, pero cuyos módulos no son equivalentes. Por ejemplo, tome la primera a valores de campo a $\Bbb C$ con la habitual módulo, como se ha definido, y tomar la segunda a $\Bbb C$, pero ahora con el siguiente módulo: $v(a + bi) = 1$ para todos los distinto de cero $a + bi\in\Bbb C$, e $v(0) = 0$. Esta es una especie de tonto módulo, pero debe ser intuitivamente obvio que esto es diferente de la normal de módulo en $\Bbb C$. Hay otros ejemplos más complicados. así. También puedes mirar aquí para una discusión más detallada, o simplemente la búsqueda de google "valor absoluto en un campo".

Cuando uno habla de los números complejos, por lo general significa $\Bbb C$ como valores de campo, no sólo como un campo, debido a que el geométrica/estructura topológica determinado por la costumbre del módulo en $\Bbb C$ es muy importante. La geometría compleja y análisis complejos que son muy ricos, los sujetos con muchos hermosos resultados que el uso de la geometría viene de la costumbre de módulo en $\Bbb C$ en una manera crucial. Estos resultados generalmente no son transferibles a los valores de los campos cuyo campo subyacente es$\Bbb C$, pero tiene un diferente módulo.

Answer 2

Supongo que el profesor de análisis complejo quiere que$\mathbb C$ sea más que un campo algebraicamente cerrado con poder$2^{\aleph_0}$. Quieren también la estructura topológica dada por el módulo. Tenga en cuenta que para los números reales, tenemos$x>y$ definible en términos de multiplicación y adición, por lo que podemos definir la estructura topológica a partir de la estructura del campo. No es así para los números complejos.