Si$\omega$ es una quinta raíz imaginaria de la unidad, entonces$\log_2 \begin{vmatrix} 1+\omega +\omega^2+\omega^3 -\frac{1}{\omega} \\ \end{vmatrix}$ =

Question

Si$\omega$ es una quinta raíz imaginaria de la unidad, entonces $$ \ log_2 \begin{vmatrix} 1+\omega +\omega^2+\omega^3 -\frac{1}{\omega} \\ \end {vmatrix} = $$

Mi acercamiento :

ps

Por lo tanto, \begin{align}\log_2 |1+\omega +\omega^2+ \omega^3 -\frac{1}{\omega}| &=\log_2 |1+\omega +\omega^2+ \omega^3 -\omega^4|\\& =\log_2|-2\omega^4|\\ &=\log_2 2 +\log_2 \omega^4 \end {align}

Ahora cómo resolverlo más; Por favor recomiende.

Answer 1

Como $$ \begin{align} 1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4 &=\frac{1-\omega^5}{1-\omega}\\[3pt] &=0 \end {align} $$ tenemos $$ \begin{align} 1+\omega+\omega^2+\omega^3-\frac1\omega &=-\omega^4-\frac1\omega\\ &=-\frac{\omega^5+1}\omega\\ &=-\frac2\omega \end {align} $$ Por lo tanto $$ \begin{align} \log_2\left|1+\omega+\omega^2+\omega^3-\frac1\omega\right| &=\log_2\left|-\frac2\omega\right|\\ &=\log_2(2)\\[6pt] &=1 \end {align} $$

Answer 2

Darse cuenta:

$$\omega^5=1\Longleftrightarrow$ $$$\omega^5=e^{0i}\Longleftrightarrow$ $$$\omega=\left(e^{2\pi ki}\right)^{\frac{1}{5}}\Longleftrightarrow$ $$$\omega=e^{\frac{2\pi ki}{5}}$ $

Con y $k\in\mathbb{Z}$

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Entonces, las soluciones son:

$k:0-4$ $$$\omega_0=e^{\frac{2\pi\cdot0i}{5}}=e^{\frac{0}{5}}=e^0=1$ $$$\omega_1=e^{\frac{2\pi\cdot1i}{5}}=e^{\frac{2\pi i}{5}}=e^{\frac{2\pi i}{5}}$ $$$\omega_2=e^{\frac{2\pi\cdot2i}{5}}=e^{\frac{4\pi i}{5}}=e^{\frac{4\pi i}{5}}$ $$$\omega_3=e^{\frac{2\pi\cdot3i}{5}}=e^{\frac{6\pi i}{5}}=e^{-\frac{4\pi i}{5}}$ $

Asi que:

$$ \ omega = \begin{cases} 1\\ e^{\pm\frac{2\pi i}{5}}\\ e^{\pm\frac{4\pi i}{5}} \end {cases} $$

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• Cuando$$\omega_4=e^{\frac{2\pi\cdot4i}{5}}=e^{\frac{8\pi i}{5}}=e^{-\frac{2\pi i}{5}}$:$\omega=1$ $

• Cuando$$\log_2\left|1+1+1^2+1^3-\frac{1}{1}\right|=\log_2\left|1+1+1+1-1\right|=\log_2\left|3\right|=\log_2(3)$:$\omega=e^{\pm\frac{2\pi i}{5}}$ $

• Cuando$$\log_2\left|1+e^{\pm\frac{2\pi i}{5}}+\left(e^{\pm\frac{2\pi i}{5}}\right)^2+\left(e^{\pm\frac{2\pi i}{5}}\right)^3-\frac{1}{e^{\pm\frac{2\pi i}{5}}}\right|=1$:$\omega=e^{\pm\frac{4\pi i}{5}}$ $